¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

[Quarklos]

Buenas, me presento. Soy un estudiante de primero de bachillerato apasionado de la física y tengo una duda que lleva varios días en mi cabeza. Estamos estudiando choques en el plano en dos dimensiones, utilizando las fórmulas del momento en el eje X y Y, junto a las ecuaciones de la Energía cinética. Resulta que, nos han explicado tres tipos de choques:

• Choques elásticos, donde se conserva el momento y la energía cinética (tiene sentido para mí). Los cuerpos terminan separados el uno del otro.
• Choques inelásticos, donde no se conserva la energía cinética pero sí el momento (he aquí mi duda). Los cuerpos terminan también separados.
• Choques perfectamente inelásticos, donde no se conserva la energía cinética pero sí el momento (la misma duda). Los cuerpos acaban juntos.

Lo que no entiendo bien es, como ya pongo en el título, por qué en los casos de los choques (perfectamente o no) inelásticos se conserva el momento a pesar de no conservarse la energía cinética, si ambas resultan del producto de masa por velocidad. Se lo he preguntado a mi profesor pero el no alcanzó a explicármelo bien.Gracias por adelantado. ;-)PD: Entiendo que la energía cinética no se conserve porque parte de ésta se pierde en la deformación y en forma de calor, pero lo que no me cuadra es que sí que se conserve el momento.

[JCB]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Hola a todos.

Quarklos: el teorema de la conservación de la cantidad de movimiento dice que en un sistema aislado, sin fuerzas externas, la cantidad de movimiento se conserva.

La cantidad de movimiento se define como p=mv. Si derivamos respecto del tiempo:

$\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{d(mv)}{dt}=m\dfrac{dv}{dt}+v\dfrac{dm}{dt}$.

Si la masa se conserva:

$\dfrac{dp}{dt}=m\dfrac{dv}{dt}=ma$.

Como no actúa ninguna fuerza externa, a=0:

$\dfrac{dp}{dt}=0$.

Por tanto, p=mv=cte.

Saludos cordiales,
JCB.

[Quarklos]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Gracias por tu respuesta! Aunque todavía no me queda clara una cosa. Por qué entonces no se conserva la energía cinética, si es el resultado del producto de la masa y la velocidad (más o menos), igual que el momento?
Presiento que el hecho de que la velocidad esté al cuadrado en la formula de la energía cinética tenga algo que ver pero aún lo lo pillo del todo.

Gracias por tu atención!

[JCB]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Hola otra vez.

No dispongo en este momento de mucho tiempo para extenderme en la respuesta para esta otra pregunta, pero el motivo principal, es que no existe un principio de la conservación de la energía cinética. El principio que existe es el de conservación de la energía (en general), y por tanto, parte de la energía cinética "gastada" se emplea en trabajo de deformación, o bien en energía calorífica.

Saludos cordiales,
JCB.

[The Higgs Particle]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Lo que no entiendo bien es, como ya pongo en el título, por qué en los casos de los choques (perfectamente o no) inelásticos se conserva el momento a pesar de no conservarse la energía cinética, si ambas resultan del producto de masa por velocidad. Se lo he preguntado a mi profesor pero el no alcanzó a explicármelo bien.Gracias por adelantado. ;-)PD: Entiendo que la energía cinética no se conserve porque parte de ésta se pierde en la deformación y en forma de calor, pero lo que no me cuadra es que sí que se conserve el momento.

Hola, primero decirte que tu pregunta me ha parecido bastante interesante y personalmente no me la había hecho antes.

Primero de todo, decir que momento lineal y energía cinética son cosas muy diferentes, no son meros productos de la velocidad con la masa (que son cosas diferentes se aprende especialmente bien cuando ves la diferencia entre el valor medio de la velocidad, $\left< v\right>$ y la de su cuadrado, $\left< v^2\right>$, por ejemplo.

Ahora bien, las conservaciones de magnitudes (como la energía, el momento lineal, la carga eléctrica, etc) son consecuencia de las simetrías del sistema. A esto se le conoce como teorema de Noether. Así, por ejemplo, cuando tienes un sistema físico que presenta una simetría respecto al ángulo $\varphi$ de polares (es decir, que el movimiento del cuerpo no depende del ángulo $\varphi$ en el que se encuentre, como sería el caso de un péndulo horizontal), se va a conservar una magnitud relacionada con dicho ángulo, con dicha simetría (en ese caso, una componente del momento angular).
Bien, tengo el tema un poco oxidado y sé que es más complejo de lo que lo voy a pintar, pero, por ejemplo, cuando hay invariancia espacial (no angular) en tu sistema (esto es, es independiente de dónde te encuentres a lo largo del eje X, por ejemplo), se conserva el momento lineal. Igualmente, cuando tu sistema no varía en el tiempo, se conserva la energía.
Quizá me equivoque (en parte porque no recuerdo si hay una diferencia en el hamiltoniano con los diferentes tipos de energía), pero me parece claro en el ejemplo que das que, cuando hay un choque inelástico, donde los cuerpos acaban juntos, hay una clara diferencia entre el antes (cuerpos separados) y el después (cuerpos juntos), de forma que no hay simetría temporal (el hamiltoniano sí dependería del tiempo porque tu sistema cambia tras el choque), por lo que es imposible que se conserve la energía cinética, pues ésta necesita que tu sistema tenga simetría temporal (mientras que esta simetría al momento lineal le trae sin cuidado).


Nota: De verdad que la clave es comprender que la energía y el momento lineal son cosas diferentes (y, por ende, los requisitos necesarios para su conservación también lo son). Así, un tipo de energía concreto (por ejemplo, la cinética) no siempre se conserva, ni aunque tu sistema sea cerrado, porque se transforma en otros tipos de energía. Pero el momento lineal se conserva siempre (otra cosa es que ese momento lineal se reparta entre otros cuerpos que no forman parte de tu sistema, de forma que tú miras a tus particulillas y te parece que falta momento lineal, que no se ha conservado, cuando simplemente es que se ha dividido por ahí).

[arivasm]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Por añadir alguna pincelada a lo ya escrito. El momento lineal y la energía cinética son conceptos que se introducen por motivos muy diferentes. Mientras que el momento de una partícula está relacionado con la fuerza resultante que actúa sobre ella (y entonces las fuerzas entre partículas pueden visualizarse como transferencias de momento, y de ahí la conservación en sistemas), la energía cinética se introduce para relacionarla con el trabajo resultante realizado sobre ella. De este modo, la energía cinética de una partícula podemos visualizarla como un "almacén de trabajo".

Para estimular la reflexión sobre esto último llamaré la atención sobre algo cuya importancia puede que pase desapercibida: ¿por qué en la definición newtoniana de energía cinética hay un factor 1/2? ¿Por qué no otro número? (es más, ya puestos, el 1).

La energía cinética no se conserva por la simple razón de que el trabajo admite otras formas de energía como origen/destino, como por ejemplo la potencial.

[JCB]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Hola a todos.

He vuelto y leo el post de THP. No me atrevo a comentarlo: sinceramente, está muy por encima de mi nivel de conocimientos y comprensión.

En cuanto al "almacén de trabajo" de arivasm, sí que puedo opinar al respecto (espero que en el sentido correcto): la energía cinética se puede entender como el trabajo realizado por una fuerza “F” sobre una masa “m”, para llevarla del reposo hasta una velocidad final “v”:

$T=Fe=mae=ma\bar{v}t=m\dfrac{v}{t}\dfrac{v}{2}t=\dfrac{1}{2}mv^2$.

Saludos cordiales,
JCB.

[arivasm]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Los de aquí que me conocen ya saben que soy un tiquismiquis.

La esencia de lo escrito por JCB es correcta, salvo un par de matizaciones. La primera es que no se trata del trabajo de "una" fuerza, sino de "la" fuerza (la resultante). La segunda es que no es necesario que se trate de una fuerza constante, y entonces de un movimiento uniformemente acelerado (y además rectilíneo).

Aunque pertenezca a un peldaño por encima del nivel original del hilo, es bonito hacer el análisis infinitesimal del problema y ver cómo se cumple que $\dd T=\vec F\cdot\dd\vec r=\dd\vec p\cdot\vec v$ (llamo, como JCB, $T$ a la energía cinética, y $\vec F$ a la fuerza resultante). La parte interesante del asunto está en que si aceptamos que $\vec p=m\vec v$ entonces tenemos el famoso $\dst T=\dfrac{p^2}{2m}=\frac{1}{2}mv^2$(*).

*Que también podría ser $T=\frac{1}{2}mv^2+C$, siendo $C$ una constante cualquiera (algo que raramente aparece en los libros) y el concepto sería exactamente el mismo.

Pero podríamos "jugar" con otras expresiones para el momento lineal. ¿Qué tal $\dst\vec p=\dfrac{m\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$. La energía cinética será "otra", pero la esencia del concepto será la misma. Y eso sí que es interesante.

Comento todo esto porque en el (apasionante!) nivel de secundaria es habitual presentar la energía cinética con un "cuentito" (por el problema de no poder hincar el diente como es debido, obviamente) que se resume como "es la energía debida al movimiento y es $\frac{1}{2}mv^2$", perdiendo entonces prácticamente todo su significado.

De hecho, la bonita pregunta de Quarklos revela ese aspecto: $p$ y $K$ "son" masa por velocidad (bien, quizá ésta elevada a alguna potencia), luego de algún modo son "lo mismo", cuando no es así. Si fuese de ese modo alguien podría decir "pues yo defino la energía arivasmiana como $\frac{7}{8}m^2v^3$, porque me sale de mis reales y porque en el fondo también es masa por velocidad". Claro que entonces el "definidor" sucumbiría inmediatamente a la pregunta "y ¿por qué?" o peor, esa que desagrada a algunos profesores y que en realidad es una buena pregunta: "¿para qué vale eso?".

Saludos!

PD: Se me olvidaba. Otro matiz en la respuesta de JCB: no es necesario ir desde el reposo. Al realizar un trabajo sobre una partícula (positivo o negativo) se cambia la energía cinética en una cantidad igual al mismo [Y por eso es interesante lo que señalé con *]. Es "como si" el resto del universo transfiriese esa energía (entonces perdiéndola o ganándola, según cuál sea el signo) a la partícula. Esto es muy interesante, porque es el origen del propio concepto de energía.

[pod]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Las respuestas que te han dado son todas correctas, pero creo que es enriquecedor verlo desde un punto de vista un poco más teórico.

Recuerda que una de las formas de escribir la 2a ley de Newton es que la variación del momento lineal es igual al impulso. El impulso se define como la fuerza multiplizada por el intervalo de tiempo durante el que se aplica, es decir

$$\Delta p = F \delta t.$$

(Nota: esto no es más que la segunda ley de Newton integrada si la fuerza es constante, o se substituye por una fuerza media.) Cuando hablamos de sistemas de partículas, la fuerza que aparece ahí es la fuerza externa. ¿Por qué? No sé si a nivel de secundaria se sule argumentar esto, pero no me parece muy difícil de entender: por el principio de acción y reacción, las fuerzas internas siempre van a pares; de igual magnitud, misma dirección pero sentido opuesto. Por lo tanto, las fuerzas internas se cancelan entre si, y no producen cambio del momento total del sistema. Nótese que las fuerzas externas también cumplen el principio de acción y reacción, pero la segunda fuerza del par se aplica sobre algo externo al sistema, y por lo tanto no aparece en el sumatorio para cancelar la primera fuerza del par.

En resumidas cuentas, que la variación del momento total del sistema es igual a la resultante de todas las fuerzas externas, multiplicada por el tiempo de aplicación.

Veamos que ocurre en una colisión... pregunta, ¿qué es una colisión? Pues, por definición (una definición que no sé si se da correctamente en secundaria...), una colisión es un proceso donde intervienen una cierta cantidad de partículas que ocurre de forma muy rápida. Es decir, un proceso en que $\Delta t \to 0$, y por consecuencia $\Delta p = 0$. Así que, simplemente, en cualquier colisión se conserva el momento simplemente porque ocurre de forma tan rápida que las fuerzas externas no tienen tiempo de cambiar el momento del sistema. Esto, evidentemente, es una aproximación que simplifica el cálculo. Luego, ¿cuál es el tiempo límite para que podamos decir que ha ocurrido "muy rápido"? Pues depende de como de grandes sean las fuerzas externas. Si las fuerzas externas son muy débiles, "muy rápido" puede llegar a ser mucho tiempo: por ejemplo, la colisión entre galaxias dura miles/millones de años, pero como la fuerza externa (la gravedad de otras galaxias) es muy muy pequeña, considerar que el momento de las dos galaxias que colisionan se conserva sigue siendo una buena aproximación.

Remarco la conclusión de todo esto: el momento se conserva siempre en cualquier colisión simplemente por ser un proceso muy rápido, en el que las fuerzas externas pierden importancia. No tienen tiempo de cambiar nada durante la colisión; las fuerzas externas seran importantes antes y después de la colisión, pero no durante.


Vale, ¿y la energía? Pues aquí simplemente recordamos los teoremas de variación de la energía de toda la vida. ¿A qué es igual el cambio de energía mecánica? Pues el cambio de la energía mecánica total es igual al trabajo de las fuerzas no conservativas. En el punto anterior ya hemos visto que las fuerzas externas carecen de importancia durante la colisión. Así, pues, el hecho de que la energía mecánica se conserve en la colisión depende de si las fuerzas internas son conservativas o no. Así de simple.

El clásico ejemplo de la pelota de goma que rebota. Si la consideramos como un muelle ideal, lo que hacer durante la colisión es comprimirse, y luego se vuelve a expandir devolviendo toda la energía. Un muelle ideal es un sistema conservativo, así que la colisión será elástica.

Por contra, si en vez de una pelota de goma lo que tenemos es una bola de papel mojado, lo que hace al colisionar es aplastarse. Ese aplastamiento está lleno de fuerzas no conservativas (fricciones y tal entre las capas de papel), y por lo tanto la deformación de la bola de papel consume energía que no devuelve recuperando su forma inicial (probablemente se transforme en energía no mecánica, térmica y acústica). Este es un ejemplo de colisión inelástica.

[Quarklos]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Muchas gracias a todos por las respuestas! Es increible que haya tanta gente apasionada que decida ayudar a los demás. Muchas gracias!

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Antes de nada muchas gracias por tu respuesta. Ahora entiendo que el momento se conserva simplemente por el hecho de que no hay fuerzas externas, por lo que la la variacion del momento es igual a cero (las fuerzas internas, como tú dices, se cancelan).

No entiendo bien a que te refieres con lo del incremento de tiempo, ya que, por muy largo o corto que sea éste, al no haber fuerzas externas (como lo entiendo yo) no cambia el momento total.

Lo interesante viene con el tema de la energía. Creo que por fin empiezo a entender que la energía no se conserva por los trabajos que realizan las fuerzas internas en una colisión inelástica. Solo me queda una cosa. Qué significa y qué implica que una fuerza sea conservativa o no conservativa?

PD: Gracias por ti atención (y la del resto)

[arivasm]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Ahora entiendo que el momento se conserva simplemente por el hecho de que no hay fuerzas externas, por lo que la la variacion del momento es igual a cero (las fuerzas internas, como tú dices, se cancelan).

No entiendo bien a que te refieres con lo del incremento de tiempo, ya que, por muy largo o corto que sea éste, al no haber fuerzas externas (como lo entiendo yo) no cambia el momento total.

Aunque entiendo que te refieres a la respuesta de pod, me permitiré aportar yo.

Este aspecto es muy importante. En sentido estricto el momento lineal solo se conserva si la resultante de las fuerzas exteriores del sistema son nulas. Eso implicaría que, en rigor, únicamente se podría aplicar dicha conservación en algunos casos. Por ejemplo, no en un choque de bolas de billar existiendo rozamiento, o de dos objetos en caída libre (y entonces sometidos a sus pesos) y que colisionan entre sí.

Sin embargo, la conservación del momento lineal es una aproximación apropiada si la duración de la colisión es despreciable, incluso aún cuando actúen fuerzas externas. La clave para ello es la segunda ley de la dinámica en términos del momento lineal:

$\vec F=\dfrac{\dd \vec P}{\dd t}$

donde $\vec F$ es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema y $\vec P$ el momento lineal del mismo. Así pues, $\dd\vec P=\vec F\ \dd t$, e integrando

$\Delta \vec P=\int_t^{t+\Delta t} \vec F\ \dd t$

donde los límites de integración, en nuestro caso, se extiende entre los instantes de tiempo correspondientes al principio, $t$, y el final del choque, $t+\Delta t$. Si el tiempo transcurrido entre ambos, $\Delta t$, es despreciable la fuerza resultante puede considerarse que se ha mantenido prácticamente constante, de manera que

$\Delta \vec P=\vec F\ \Delta t$

En consecuencia, si $\Delta t\to 0$ entonces $\Delta \vec P\to\vec 0$, es decir, podemos considerar que el momento lineal no cambia durante el choque.

Qué significa y qué implica que una fuerza sea conservativa o no conservativa?

Que el trabajo que realiza al llevar a una partícula entre dos puntos no depende de cuál sea la trayectoria seguida. Un ejemplo es el peso. En cambio la fuerza de rozamiento es no conservativa.

En primer lugar implica que tiene una energía potencial asociada. Así existe una energía potencial gravitatoria pero no una energía potencial de rozamiento.

En segundo implica que las fuerzas conservativas no alteran la conservación de la energía mecánica de un sistema (y de ahí procede el nombre) mientras que las no conservativas sí pueden modificarla.

[Quarklos]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Vale, ahora entiendo lo del incremento de tiempo. Respecto a lo último que comentas de las fuerzas conservativas, por qué las fuerzas no conservativas como el rozamiento alteran la conservación de la energía mecánica y las conservativas, por su contra, sí que lo hacen?

[pod]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Vale, ahora entiendo lo del incremento de tiempo. Respecto a lo último que comentas de las fuerzas conservativas, por qué las fuerzas no conservativas como el rozamiento alteran la conservación de la energía mecánica y las conservativas, por su contra, sí que lo hacen?

Como ha dicho alriga, una fuerza conservativa es aquella tal que el trabajo que realiza un cuerpo al moverse sometido a ella depende únicamente del punto inicial y el final, y no del recorrido. Es decir, para ir de A a B la fuerza realiza el mismo trabajo independientemente de si vas en línea recta o si das todas las vueltas que puedas imaginarte.

Esta definición tiene muchas consecuencias, que se pueden expresar con matemáticas relativamente complicadas (para el nivel de secundaria). Una consecuencia muy sencilla de entender sin mates es que si el punto A y el punto B son iguales, entonces el trabajo de la fuerza debe ser cero. Veamos por qué: hemos dicho que el trabajo no puede depender del camino, una forma muy sencilla de pasar de ir del punto A al mismo punto A es no moverse en absoluto. Por definición de trabajo (fuerza por desplazamiento), sino hay desplazamiento el trabajo es cero.

Pero esa no es la única trayectoria posible. Como la fuerza es conservativa, el trabajo seguirá siendo cero para cualquier trayectoria que comience y termine en el mismo punto. Recuerda esto.

Otro de los teoremas de la energía nos dice que el trabajo total es igual a la variación de la energía cinética. Es decir, cada fuerza que se aplica hace variar la energía cinética. Las fuerzas conservativas no son diferentes. En particular, cuando la partícula ha vuelto al punto A, como la fuerza conservativa no ha realizado trabajo neto (lo que acabamos de argumentar), entonces cuando la partícula vuelve al punto de partida necesariamente tiene la misma energía cinética (suponiendo que no hay fuerzas no conservativas, claro). De aquí viene el nombre de "conservativa", precisamente.

Ahora bien, lo dicho es cierto cuando la partícula vuelve al punto de origen, pero no tiene por que ser cierto en un punto intermedio de la trayectoria. En ese instante intermedio la partícula ha ganado (o perdido) energía cinética por la acción de la fuerza conservativa. Esa variación se invierte al final del recorrido, cuando vuelve al punto de origen. Eso nos da a pensar que en estos instantes intermedios la energía que faltava (o la que sobrava) estaba "guardada" en otro sitio, un sitio relacionado con la fuerza conservativa. Pues bien, ese tipo de energía relacionado con la fuerza conservativa es lo que llamamos energía potencial; de tal forma que la suma de energía potencial y energia cinética es una constante; y es esa suma lo que llamamos energía mecánica.

Toda esta construcción se ha podido hacer únicamente gracias a que el trabajo de la fuerza conservativa no depende de la trayectoria, sino sólo de sus puntos de origen y final. De alguna forma, si sigues una trayectoria cerrada, durnate una parte del recorrido la fuerza te "da energia" (trabajo positivo) y durante otra parte te "resta" energía (trabajo negativo), de forma que el total se compensa. En términos del balance energético, hay cierto trasvase de energía potencial a cinética; y vice versa.

Un ejemplo sencillo es un tiro vertical. Mientras la partícula sube, la fuerza de gravedad se opone al movimiento (trabajo negativo), pero cuando baja va a favor (trabajo positivo). Al final, te devuelve la energía que te había quitado y te quedas igual. Eso será así independientemente de cuan alto llegue el tiro.

Por contra, si tenemos una fuerza cuyo trabajo depende de la trayectoria, toda esta construcción no se puede hacer. No hay una energía potencial asociada a esa fuerza, así que no hay un balance de energías como el que acabamos de comentar. Lo que sigue siendo es que el trabajo no conservativo hace que cambie la energía cinética. Pero como no hay una energía potencial que compense esa variación, eso acaba repercutiendo en un cambio de la energía mecánica.

Una forma sencilla de entender porqué el rozamiento es no conservativo es lo siguiente: por definición, el rozamiento siempre se opone al movimiento. Por ende, su trabajo siempre es negativo. Es decir, en un viaje de ida y vuelta, tanto a la ida como a la vuelta el trabajo será negativo y no habrá compensación que valga.

[Quarklos]

Re: ¿Por qué el momento se conserva en choques inelásticos, si no lo hace la energía cinética?

Vaale! Ahora lo entiendo bien. Muchas gracias!