Divulgación Problema con resorte con masa colgante

[inakigarber]

Buenas noches, os traigo este problema que me trae por la calle de la amargura.
"Un cuerpo de 2.5 Kg cuelga de un muelle vertical de constante K=600N/m. Oscila con una amplitud de 3 cm. Cuando el cuerpo posee su máximo desplazamiento hacia abajo a) encontrar la energia total del sistema, b) la energia potencial gravitatoria, y c) la energia potencial del muelle, d) ¿Cuál es la energia cinética máxima del cuerpo?
El enunciado aconseja escoger U=0 cuando el cuerpo está en equilibrio. Yo no lo he planteado de esa manera, pero hay algo donde debo estar perdiéndome.

Veamos, cuando cuelgo la masa del resorte este sufre una deformación que podremos calcular
$\Delta_x=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{9.81\cdot 2.5}{600}=0.040875m$
Por otra parte, además, el cuerpo cae otros 0.03m (lo dice el enunciado). Razono entonces que la energia total del sistema es la correspondiente a la caída total del objeto, es decir;
$E_t=2.5\cdot 9.81(0.040875+0.03)=1.7382J$
Bien, pero ahora razono, cuando el objeto está en su ponto más bajo, su energia potencial es 0 y su energía cinética también, por lo que toda su energia está almacenada en el resorte, por lo que la energía total será;
$E_k=\dfrac{k\Delta_t^2}{2}=\dfrac{600(0.040875+0.03)^2}{2}=1,5069J$, valor que no me coincide, por lo que o bien el problema está mal planteado o me estoy equivocando en algo muy obvio.

[JCB]

Re: Problema con resorte con masa colgante

Hola inakigarber.

Diría que es mejor utilizar la referencia de energía potencial gravitatoria sugerida por el enunciado. Llamo $\Delta y$ a la deformación en el equilibrio estático y A, a la amplitud de la oscilación.

En el punto más bajo de la oscilación, tenemos:

$\Delta E_{pg}=mg(-A)=-2,5g0,03 \ J=-0,7358 \ J$.

$\Delta E_{pe}=\dfrac{1}{2}k(\Delta y+A)^2-\dfrac{1}{2}k(\Delta y)^2 \ J=1,0058 \ J$.

$\Delta E_p=0,2700 \ J$.

En el punto más alto de la oscilación, tenemos:

$\Delta E_{pg}=mgA=2,5g0,03 \ J=0,7358 \ J$.

$\Delta E_{pe}=\dfrac{1}{2}k(\Delta y-A)^2-\dfrac{1}{2}k(\Delta y)^2 \ J=-0,4658 \ J$.

$\Delta E_p=0,2700 \ J$.

No sé si te sirve de algo o añade confusión.

Saludos cordiales,
JCB.

[inakigarber]

Re: Problema con resorte con masa colgante

Gracias por tu ayuda, pero creo que sigo con algo que se me atraganta.

Cuando cuelgo el peso del muelle, este sufre una deformación. La posición de equilibrio coincidira (si no me equivoco, porque ya no se...) con la condición en que $mg=k\\Delta_x$, de lo que deduzco que $\Delta_x=\dfrac{mg}{k}$. Además el cuerpo cae otros 0.03m más hasta llegar a su punto de caída máxima, luego la caída total es de $\dfrac{mg}{k}+0.03$, y la energia correspondiente a dicha caída es $E_t=mg(\dfrac{mg}{k}+0.03)$
En cualquier momento de la oscilación del resorte, la suma de las energías debidas a la energia potencial gravitatoria, potencial del resorte y cinética nos deberá dar ese valor si no estoy equivocado. El punto de mayor energía cinética coincidirá cuando el resorte pase por su posición de equilibrio. Entonces tendremos;
$mg(\dfrac{mg}{k}+0.03)=\dfrac{K\Delta_x^2}{2}+0.03mg+E_k$, poniendo valores y despejando me sale un valor de $E_k=0.5012J$, lo cual sigue sin coincidirme con el resultado del solucionario (0.207J), por lo que hay algo que debo estar haciendo mal y no se que es.

Saludos y gracias-

[JCB]

Re: Problema con resorte con masa colgante

Hola a todos.

Recapitulando, quizás ha sido un atrevimiento abordar el tema energético, sin antes hacer lo propio con el asunto cinemático (m.a.s.):

Se entiende que para que el cuerpo oscile con una amplitud A, lo desplazamos hacia abajo (desde la posición de equilibrio estático), una distancia A.

La posición del cuerpo, tomando como referencia u origen el punto de equilibrio estático (y hacia abajo como sentido negativo), es

$y=Asen(\omega t+\theta_0)$.

Si empezamos a contar el tiempo cuando soltamos el cuerpo desde el punto más bajo, $y=Asen(\omega 0+\theta_0)=-A$, $\theta_0=-\dfrac{\pi}{2}$. Luego,

$y=-Acos\omega t$.

$v=\dfrac{dy}{dt}=A\omega sen\omega t$.

$v_{max.}=A\omega=A\sqrt{\dfrac{k}{m}}=0,4648 \ m/s$. Esta tiene lugar al pasar por el punto de equilibrio estático.

Ahora y volviendo al tema energético, tomo como referencia de energía potencial al mismo punto de equilibrio estático.

1) La energía en el punto más bajo, se compone de la gravitatoria más la elástica:

$E_1=mg(-A)+\dfrac{1}{2}k(\Delta y+A)^2=0,7712 \ J$.

2) La energía en el punto de equilibrio estático, se compone de la elástica más la cinética:

$E_2=\dfrac{1}{2}k(\Delta y)^2+\dfrac{1}{2}mv_{max.}^2=0,7712 \ J$.

3) La energía en el punto más alto, se compone de la gravitatoria más la elástica:

$E_3=mgA+\dfrac{1}{2}k(\Delta y-A)^2=0,7712 \ J$.

Saludos cordiales,
JCB.

- - - Actualizado - - -

Hola a todos.

En el post #4, cuando dije “Ahora y volviendo al tema energético, tomo como referencia de energía potencial al mismo punto de equilibrio estático.”, debería haber dicho energía potencial gravitatoria ($E_{pg}$).

Quizás lo más interesante del ejercicio es que la referencia para la $E_{pg}$ debe ser arbitraria para que el problema tenga solución numérica, en cambio la referencia para la Energía potencial elástica ($E_{pe}$) es absoluta: aunque sea (ahora y para mí) una obviedad, un muelle estirado o comprimido una cierta distancia constante, almacenará la misma $E_{pe}$, aunque esté a diferente altura.

Saludos cordiales,
JCB.

[inakigarber]

Re: Problema con resorte con masa colgante

Buenas tardes;

...Recapitulando, quizás ha sido un atrevimiento abordar el tema energético, sin antes hacer lo propio con el asunto cinemático (m.a.s.)....

Recurrí a la ley de conservación de la energía porque me pareció la forma más clara de encarar el problema, pero no ha sido así, y además (aunque no se donde) he debido equivocarme en algún lugar.

Afrontándolo desde el punto de vista del m.a.s. todo se resuelve a una única fórmula, ya que nos queda;
$v=A\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ y sustituyendo $E_c=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{kA^2}{2}=0.27$
Lo cual es más sencillo que el razonamiento con el que yo pretendía resolver el problema.

Queda muy claro que a veces es mejor buscar vías alternativas.

Muchas gracias.

[JCB]

Re: Problema con resorte con masa colgante

Hola inakigarber.

Bueno, lo del atrevimiento lo decía concretamente por mí, no por ti, pues mi post #2, está totalmente equivocado, y por tanto es prescindible. En ese momento, aún no veía las cosas claras.

Saludos cordiales,
JCB.