Secundaria Relación alcance - altura en un proyectil

[Alfonso]

Si a 45º respecto a la horizontal el alcance de un proyectil es 4 veces su altura. ¿A que ángulo el alcance será 3 veces la altura?

[pod]

Bueno, tenemos un tiro parabólico estándar. Las ecuaciones del movimiento son:

$x = v_0 \cos\alpha t \ ,$
$y = v_0 \sin\alpha t - \frac12 g t^2 \ .$

La velocidad es

$v_x = v_0 \cos\alpha \ ,$
$v_y = v_0 \sin\alpha - g t \ .$

El alcance se determina imponiendo $y = 0$, con $t\neq 0$. No voy a poner la resolución detallada del sistema de ecuaciones, el resultado final es

$x_M = \frac{2v_0^2}{g} \sin\alpha \cos\alpha \ .$

La altura se determina imponiendo $v_y = 0$. La altura resulta ser

$h = \frac{v_0^2}{2g}\sin^2\alpha \ .$

La relación entre el alcance y la altura resulta ser

$\frac{x_M}{h} = 4 \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 4 \mathrm{cotg}\alpha \ .$

Como dice el enunciado, para $\alpha = 45^{\text{o}}$ el resultado es 4. Para resolver el problema, tenemos planteamos la ecuación

$4\mathrm{cotg}\alpha = 3 \ , \longrightarrow \tan \alpha = \frac43 \ .$

De nuevo dejaré que termines el problema por ti mismo. Suerte!

[Alfonso]

Correcto, el angulo da 53.1º.
Muchas Gracias, Pod.