Otras carreras Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

[crijegama]

[FONT=Microsoft Sans Serif]Tengo una duda sobre un problema de fisica, os agradeceria la ayuda.[/FONT]
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[FONT=Microsoft Sans Serif]En un punto del interior de la tierra, la fuerza de la gravedad es proporcinal a la distancia del punto al centro.[/FONT]
S[FONT=Microsoft Sans Serif]upongamos que se perforase un agujero desde un polo al polo opuesto y que se dejase caer una piedra en un extremo del agujero.[/FONT]
[FONT=Microsoft Sans Serif][FONT=Microsoft Sans Serif]a) calcular la velocidad con la que la piedra llegaria al centro de la tierra.[/FONT][/FONT]
[FONT=Microsoft Sans Serif][FONT=Microsoft Sans Serif][FONT=Microsoft Sans Serif]b) la piedra se detendra en el otro extremo y regresara al punto de partida. ¿Cuanto tiempo invierte en el recorrido de ida y vuelta?[/FONT][/FONT][/FONT]
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[FONT=Microsoft Sans Serif][FONT=Microsoft Sans Serif][FONT=Microsoft Sans Serif]Gracias y saludos[/FONT][/FONT][/FONT]

[polonio]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

Calcula el campo gravitatorio a partir de la ley de Gauss y, una vez lo tengas, multiplica por la masa de la partícula para obtener la fuerza sobre la partícula y ya sólo tienes que aplicar la segunda ley de Newton.

[Fastolfe]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

Hola, este ejercicio me pareció verlo alguna vez planteado en un libro de ecuaciones diferenciales.Yo me acuerdo que el desarrollo se iniciaba a través de la ley de gravitación y la masa del objeto era un dato innecesario al aplicar la segunda ley de newton.

Ley de gravitación universal:

$$\displaystyle \vec{F_p}=-G\frac{m_p\cdot M_T}{(R_T-x)^2}\hat{u}_{pT}$$

Aplicando 2da ley de newton:

$$\displaystyle F_p=m_p\cdot a_p\longrightarrow m_p\cdot \dfrac{d^2x}{dt^2}=-G\frac{m_p\cdot M_T}{(R_T-x)^2}\longrightarrow \dfrac{d^2x}{dt^2}=-G\frac{M_T}{(R_T-x)^2}$$

La ecuacion final obtenida en (2) se puede expresar de la siguiente forma:

$$v\dfrac{dv}{dx}=-G\frac{M_T}{(R_T-x)^2}$$

Lo que nos lleva que (3) es una ecuacion diferencial de variables separables, que nos dara la velocidad de la piedra segun la distancia que vaya avanzando esta por el agujero en la tierra:

$$\displaystyle\int_{v_o}^{v_1}v\cdot dv=-GM_T\int_{x_o}^{x_1}\frac{dx}{(R_T-x)^2}\\ \frac{v_1^2}{2}-\frac{v_o^2}{2}=GM_T\left(\frac{1}{R_T-x_1}-\frac{1}{R_T-x_o}\right)$$

Ya en este punto, solo caben definir las condiciones iniciales del problema, la piedra fue lanzada desde el reposo $v_o=0$, a una distancia $x_o=0$desde la superficie de la tierra, quedando (4) asi:

$$\frac{v_1^2}{2}=GM_T\left(\frac{1}{R_T-x_1}-\frac{1}{R_T}\right)$$

Ya lo que nos compete, nos piden la velocidad de la piedra en el centro de la tierra, eso nos lleva al caso extremo de $x_1=R$ el cual indetermina (5), asi que habra que ajustar esta ultima ecuacion usando la siguiente expresion para $|a|<1$:

$\displaystyle\frac{1}{(1\mp a)^n}=1\pm na$

utilizando esto en (5):

$$\displaystyle\frac{v_1^2}{2}=\frac{GM_T}{R_T}\left(\frac{1}{1-\frac{x_1}{R_T}}-1\right)\longrightarrow \frac{v_1^2}{2}=\frac{GM_T}{R_T}(1+\frac{x_1}{R_T}-1)\longrightarrow v_1=\sqrt{2\frac{GM_T}{R_T}}$$

Con eso se termina el problema para poder saber la velocidad justo en el centro.
Sin mas que agregar, me despido.

[polonio]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

Mmmh, no sé Fastolfe. Mira que el campo gravitatorio de la Tierra dentro (es proporcional a la distancia al centro) no es igual que fuera de ésta (inversamente proporcional al cuadrado de la distancia).

[[Beto]]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

A ver según la ley de Gauss se tendría los siguiente:

$$\oint \vec g\dd \vec s=-4\pi GM$$

Entonces para un punto a una distancia $r$ del centro de la tierra se tendrá que:

$$g(4\pi r^2)=-4\pi GM$$

Pero allí $M$, es la masa encerrada, en ese caso estaría dada por:

$$M=\frac{M_T}{\frac{4}{3}\pi R_T^3}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\Longrightarrow M=\frac{M_Tr^3}{R_T^3}$$

Reemplazando (3) en (2), se obtiene que:

$$g=-\left(\frac{GM_T}{R_T^3}\right)r$$

El término entre paréntesis es una constante pues $M_T$ y $R_T$, representan a la masa y radio de la tierra respectivamente.

Ahora si, por la segunda ley de Newton para una párticula colocada a una distancia $r$, del centro de la tierra se tendrá que:

$$m\frac{\dd^2r}{\dd t^2}=-m\left(\frac{GM_T}{R_T^3}\right)r$$

Acomodando un poco:

$$\frac{\dd^2r}{\dd t^2}+\left(\frac{GM_T}{R_T^3}\right)r=0$$

Se puede ver fácilmente que corresponde a un movimiento armónico simple, de donde ya resultará fácil identificar el periodo de oscilación, de la masa $m$.

[polonio]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

Sí, señor. Eso era Jorge.

[crijegama]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

Gracias por la respuesta, aunque ayer me meti un segundo y vi otra contestacion que decia q habia visto el problema en un libro de ecuaciones diferenciales, que es exactamente de la asignatura del problema, en todo caso si pudieras recordar el libro lo agradeceria.
Gracias

[Fastolfe]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

El libro de ecuaciones diferenciales era el Dennis Zill

[JCGG]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

disculpen mi ignorancia, pero se me ocurre pensar que en una agujero de polo a polo, este deberia pasar por el centro de la tierra, y en el centro se me ocurre que la piedra levite, es posible?

Hablamos

[[Beto]]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

disculpen mi ignorancia, pero se me ocurre pensar que en una agujero de polo a polo, este deberia pasar por el centro de la tierra, y en el centro se me ocurre que la piedra levite, es posible?

Eso solamente sucedería si soltaras a la masa en el centro de la tierra y la dejaras ahí.

Me explico un poco mejor, este caso es similar al de un resorte, ya que la fuerza que la tierra le ejerce a la masa que se suelta es proporcional a la distancia, es decir de la forma $F=-kx$ mira la ecuación (5) .

Si se entendió el párrafo anterior, entonces imagínate en lugar del agujero en la tierra, a una masa atada a un resorte en un plano horizontal, ¿qué pasa si jalas y luego la sueltas? ... aja ... si la masa empieza a oscilar y acá si es mas fácil de imaginar que la masa no se detendrá en en el centro (punto de equilibrio), y eso es debido a que en ese punto cuando pasa la masa si bien la fuerza resultante es nula, la velocidad de la masa es máxima, por ello sigue avanzando y no se queda ahí.

[JCGG]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

Ok entendido a la perfeccion, pero osea que la velodcidad de la piedra seria como una velocidad de escape para la gravedad del centro de la tierra, asi como se necesita una velocidad de escape para salir de la atmosfera, supongamos que no hay rozamiento, friccion, etc., osea que al pasar y salir al otro lado la piedra podria salir al espacio exterior y perderse en e universo hasta qeu un cuerpo por ejemplo una gujero negro la atraiga?

Hablamos

[[Beto]]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

osea que al pasar y salir al otro lado la piedra podria salir al espacio exterior y perderse en e universo hasta qeu un cuerpo por ejemplo una gujero negro la atraiga?

No, recuerda que una vez que pasa por el centro la fuerza gravitatoria la vuelve a atraer y esa velocidad comienza a disminuir, hasta que en algún momento se hará nula y regresará, volverá a pasar por el centro y así sucesivamente. El movimiento siempre se realizará en el interior de la tierra.

[JCGG]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

listo pero otra pregunta, el movimiento se detendra en algun momento o sera como un pendulo oscilando en el "vacio"

Hablamos

[[Beto]]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

listo pero otra pregunta, el movimiento se detendra en algun momento o sera como un pendulo oscilando en el "vacio"

Si no se consideran fuerzas disipativas como rozamiento en este caso, el movimiento nunca se detendrá. Será así como dices.

[Metaleer]

Re: Cuerpo que cae por un agujero en la tierra

listo pero otra pregunta, el movimiento se detendra en algun momento o sera como un pendulo oscilando en el "vacio"

Hablamos

En efecto, como bien te dice N30F3B0 en este caso concreto sería como dices. No obstante, si hay rozamiento, la ecuación diferencial que gobierna el sistema en cuestión sería a priori algo como

$\displaystyle \frac{\dd^2r}{\dd t^2}+\left(\frac{GM_T}{R_T^3}\right)r + b\frac{\dd r}{\dd t}=0$

donde $b$ es una constante que depende de geometría, las propiedades viscosas del medio, etc... Esta ecuación diferencial corresponde a un movimiento oscilatorio amortiguado, donde tienes tres casos posibles, movimiento subamortiguado, críticamente amortiguado y sobreamortiguado. En el primer caso vas a tener que la partícula describe un movimiento oscilatorio (no periodico), y en los restantes casos el sistema no evoluciona de forma oscilatoria. Que sea de un tipo u otro el movimiento depende de ciertas relaciones algebraicas entre los parámetros que aparecen en las EDOs; ésto lo tienes detallado en prácticamente cualquier libro de Física General. Haré otro inciso, diciendo que si la velocidad es suficientemente alta, la EDO que describe el comportamiento del sistema puede ser modificada para tener

$\displaystyle \frac{\dd^2r}{\dd t^2}+\left(\frac{GM_T}{R_T^3}\right)r + b\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2=0$

pero esta EDO no es lineal y sin métodos numéricos o algo del estilo es bastante complicado obtener una solución.

Saludos