Otras carreras Movimiento oscilatorio (resorte)

[Nachop]

Hola a todos, teng dudas con este ejercicio



Lo que hice fue lo siguiente: trabajar con torque

Para empezar tengo dudas con los signos
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Luego desarrolle, asumiendo que son angulos pequeños y notando que $x=L \sin \theta$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y eso no se como trabajarlo... ademas me salio otra duda (disculpen que haga mas de una consulta por tema) y es: Que debo considerar como brazo que ejerce torque, la distancia del pivote a donde se aplica la fuerza o la perpendicular del punto donde se ejerce la fuerza a la linea punteada ?

muchas gracias de antemo

[balik]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

tienes que tomar en cuenta que antes de empezar a oscilar , es decir cuando el torque es cero , ya el resorte estaba comprimido una pequeña distancia x , de modo que luego de levantarlo una pequeña distancia ∆x, de modo que en el torque que haces debes tener
k( x-∆x) reocordando que ∆x = lsenØ.

mgl/2 , creo que debe ser mglcosØ/2 , ya que se esta formando un angulo con la horizontal. este debe ser negativo , porque va dirigido con las ,manecillas del reloj

[Jose D. Escobedo]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

Decidí utilizar Lagrangians para verificar tu resultado

$\displaystyle T_1= \frac{1}{2} I \dot \phi^2$

$\displaystyle V_1= mgh = mg\frac{L}{2} \sin \phi$

$\displaystyle V_2= \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (L\phi)^2$ porque $x \sim L \phi \Rightarrow$

$\displaystyle L = \frac{1}{2} I \dot \phi^2 -mg \frac{L}{2} \sin \phi - \frac{1}{2} k L^2 \phi^2 \Rightarrow$

$\displaystyle I\ddot \phi + \frac{L}{2} mg \cos \phi + kL^2 \phi =0$

$\displaystyle \ddot \phi +\frac{kL^2}{I} \phi = -\frac{L}{2I} mg \cos \phi ...(1) \Rightarrow$

$\displaystyle \omega^2 = \frac{kL^2}{I} = \frac{kL^2}{\frac{1}{3} mL^2} = \frac{3k}{m}$ porque (1) es $\displaystyle \ddot \phi +\omega^2 \phi = -\frac{L}{2I} mg \cos \phi$

Creo que se te olvidó dividir por I y el termino con $\phi$ es positivo. Y sí el brazo del torque es la distancia del pivote a donde se aplica la fuerza pero tiene el sentido vectorial de la definicion del momemto de fuerza $\vec r \times \vec F$

[Nachop]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

Decidí utilizar Lagrangians para verificar tu resultado

$\displaystyle T_1= \frac{1}{2} I \dot \phi^2$

$\displaystyle V_1= mgh = mg\frac{L}{2} \sin \phi$

$\displaystyle V_2= \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (L\phi)^2$ porque $x \sim L \phi \Rightarrow$

$\displaystyle L = \frac{1}{2} I \dot \phi^2 -mg \frac{L}{2} \sin \phi - \frac{1}{2} k L^2 \phi^2 \Rightarrow$

$\displaystyle I\ddot \phi + \frac{L}{2} mg \cos \phi + kL^2 \phi =0$

$\displaystyle \ddot \phi +\frac{kL^2}{I} \phi = -\frac{L}{2I} mg \cos \phi ...(1) \Rightarrow$

$\displaystyle \omega^2 = \frac{kL^2}{I} = \frac{kL^2}{\frac{1}{3} mL^2} = \frac{3k}{m}$ porque (1) es $\displaystyle \ddot \phi +\omega^2 \phi = -\frac{L}{2I} mg \cos \phi$

Creo que se te olvidó dividir por I y el termino con $\phi$ es positivo. Y sí el brazo del torque es la distancia del pivote a donde se aplica la fuerza pero tiene el sentido vectorial de la definicion del momemto de fuerza $\vec r \times \vec F$

Y como se resuleve la ecuacion diferencial que obtuviste?

Con respecto a lo del brazo, entonces es la distancia del pivote a la perpendicular? creo que entiendo lo que me quieres decir, pero no lo veo bien...

[Jose D. Escobedo]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

Para resolver esta ecuacion diferencial, primero supones que existe, luego la puedes representar como la serie de Taylor haciendo uso de las condiciones iniciales y de la forma que tiene tu ecuacion diferencial.

Otra manera de solucionarla es: aproximar $\cos \phi$ hasta que sea requerido o sea que depende de la exactitud problema que se este tratando, luego se usan series y se deducen los coeficientes de dichas series.

Con lo que respecta a torques se effectua de la siguiente forma:

$\displaystyle \Sigma \vec r_i \times \vec F_i= I\ddot \phi \hat k$

$\displaystyle \vec r_1 \times -mg \hat j + r_2 \times -k (L \phi) \hat e_{\phi} = I \ddot \phi \hat k$
aquí $mg$ y $kx \sim kL\phi$ son negativos porque la fuerza ejercida por la gravedad va hacia abajo y kx es una fuerza restituitoria.

$\hat e_{\phi} = - \hat i \sin \phi + \hat j \cos \phi$ que puede ser deducida ó encontrada en algunos libros de fisica $\Rightarrow$

$\displaystyle r_1 = \frac{L}{2}(\hat i \cos \phi + \hat j \sin \phi )$ y$r_2 = L(\hat i \cos \phi + \hat j \sin \phi)$
$\Rightarrow$

$\displaystyle - (\frac{L}{2}mg \cos \phi) \hat k- kL^2( \cos^2\phi + \sin^2\phi ) \hat k= I\ddot \phi \hat k \Rightarrow$

$\displaystyle - \frac{L}{2}mg \cos \phi -kL^2 = I\ddot \phi$

Así como puedes ver el resultado es el mismo.

[[Beto]]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

Para resolver esta ecuacion diferencial, primero supones que existe, luego la puedes representar como la serie de Taylor haciendo uso de las condiciones iniciales y de la forma que tiene tu ecuacion diferencial.

Uhm ... sin usar Taylor, bastaría con encontrar las soluciones asociadas a la ecuación homogénea:

$$\ddot\phi+\omega^2\phi=0$$

Y luego encontrar la solución particular correspondiente a la parte no homogénea en este caso suponiendo que sea de la forma $\phi=A\cos\phi$

La solución final será la combinación lineal de ambas.

[Nachop]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

Gracias!

Entiendo todo, el problema es que este ejercicio lo saque del Serway y definitivamente para resolver ejercicios de ahi no es necesario tener un conocimiento muy profundo de calculo

De todos modos estoy satisfecho con su ayuda

[Jose D. Escobedo]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

Uhm ... sin usar Taylor, bastaría con encontrar las soluciones asociadas a la ecuación homogénea:

$$\ddot\phi+\omega^2\phi=0$$

Y luego encontrar la solución particular correspondiente a la parte no homogénea en este caso suponiendo que sea de la forma $\phi=A\cos\phi$

La solución final será la combinación lineal de ambas.

Yo tambien lo creí así al principio, pero si lo vez con detenimiento te darás cuenta de $\phi$ esta en funcion de "t", o sea que la variable dependiente es $\phi$ mientras que el tiempo es la variable independiente.

[[Beto]]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

Yo tambien lo creí así al principio, pero si lo vez con detenimiento te darás cuenta de $\phi$ esta en funcion de "t", o sea que la variable dependiente es $\phi$ mientras que el tiempo es la variable independiente.

Es cierto, pero recuerdo que una vez me dijeron como se llama el método para este tipo de ecuaciones diferenciales.

¿pod cual era?

[Fastolfe]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

$\displaystyle \omega^2 = \frac{kL^2}{I} = \frac{kL^2}{\frac{1}{3} mL^2} = \frac{3k}{m}$ porque (1) es $\displaystyle \ddot \phi +\omega^2 \phi = -\frac{L}{2I} mg \cos \phi$

Esta ecuacion diferencial no es usual, descartada una NO-homogenea, ya que la funcion trigonometrica deberia ser dependiente del tiempo directamente.
Una manera para dejarla de una forma usual es suponer que la oscilacion es lo suficientemente pequeña, con lo cual quedaria:$cos\phi\approx\phi$. Pero de no ser asi, habria que aplicar otro metodo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

Esta ecuacion diferencial no es usual, descartada una NO-homogenea, ya que la funcion trigonometrica deberia ser dependiente del tiempo directamente.
Una manera para dejarla de una forma usual es suponer que la oscilacion es lo suficientemente pequeña, con lo cual quedaria:$cos\phi\approx\phi$. Pero de no ser asi, habria que aplicar otro metodo.

Creo que te has equivocado la aproximación sería así:

$\displaystyle \cos \phi \sim 1 + \frac{\phi^2}{2!}$ y esta recomendacion ya la dije en el post #5, bajo: Otra manera de solu...

hay otro camino que se me ocurrió: tambien se hace el cambio $\displaystyle \dot \phi \frac{d \dot \phi}{d \phi}=\ddot \phi$ y en este caso $\dot \phi (\phi)$ que finalmente para encontrar $\phi(t)$ puedes utilizar la serie de Taylor ó la solucion la aproximás por el metodo de Euler.

[pod]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

Es cierto, pero recuerdo que una vez me dijeron como se llama el método para este tipo de ecuaciones diferenciales.

¿pod cual era?

Meterla en Mathematica...

[[Beto]]

Re: Movimiento oscilatorio (resorte)

Meterla en Mathematica...

No, creo que era esto: DALE CLICK