Duda con formula de MRUA

[dpastor]

Pues eso, me ha surgido una duda, yo ya estoy licenciado (nada de física), y mis conocimientos de física son los que aprendí en COU. Pero hoy, mirando la formula del movimiento rectilineo uniformemente acelerado, me he pasado 2 horas debanandome los sesos, y aunque he llegado donde queria, no como queria. Espero me ayudeis.

Mi problema biene de la formula:

Xf= Xo + Vo.t + 1/2.a.t2

Ese 1/2 que se aplica a la multiplicación, tengo serios problemas para saber como se llega a él, es decir, si nos vamos al principio:

X = posición / V = velocidad / a= aceleración
t = Tiempo / f= final / o= inicial

V = (Xf - Xo) / t
a = (Vf-Vo) / t

Por simplificar, si suponemos que un movil surge de la posición Xo = 0 , sin velocidad alguna Vo = 0, y tratamos de unir ambas formulas sustituyendo en la fórmula de la aceleración la velocidad:

a = (Xf / t) /t

Lo que es igual a: a = Xf/t2

Por lo que, si queremos saber la posición de un movil uniformemente acelerado que surge sin velocidad inicial desde el punto Xo = 0:

Xf = a.t2

Sin embargo en la formula de MRUA, este valor viene dividido por 2

Xf = (a.t2) /2

Si analizo el porque utilizando una gráfica con tiempo en el eje X y velocidad en el eje Y, entonces puede observarse que en el punto medio de la aceleración, si considerasemos esa velocidad como constante, tendríamos la misma superficie que con la gráfica que deja la recta de la aceleración, o dicho de otra forma, la aceleración constante puede "transformarse" para averiguar la distancia en la "velocidad media",

Velocidad Media = (vf - Vo) /2

Sustituyendo con la formula anterior

a = (Vf - Vo ) / t
Vf - Vo = at

Si Vo = 0

(Vf - Vo).t = a.t2

Con lo que, metiendo la Velocidad media en la formula de la aceleración sale:

Velocidad media = a.t2 / 2

Que es lo que da la formula.

Tras todo esto que me ha costado 2 horas, sigo sin entender porque tengo que meter la velocidad media de por medio, y por qué el razonamiento primero que hice está mal. No entiendo porque al sustituir las formulas originales me da un resultado erroneo (ya que no me sale el 1/2 por ninguna parte), y tengo que hacer la "milonga" esta de la velocidad media.

No se si se me ha entendido, pero si ha sido así ¿alquien puede explicarmelo?


Gracias

[BigMess]

Re: Duda con formula de MRUA

Lo que te voy a decir no es lo que preguntas, pero si integras la fórmula de la velocidad $v_f=v_0+at$ te queda $x=x_0+v_0t+1/2 at^2$ (la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo), y es una forma de ver que el 1/2 de la fórmula es coherente con las otras fórmulas

[pod]

Re: Duda con formula de MRUA

Pues eso, me ha surgido una duda, yo ya estoy licenciado (nada de física), y mis conocimientos de física son los que aprendí en COU. Pero hoy, mirando la formula del movimiento rectilineo uniformemente acelerado, me he pasado 2 horas debanandome los sesos, y aunque he llegado donde queria, no como queria. Espero me ayudeis.

Mi problema biene de la formula:

Xf= Xo + Vo.t + 1/2.a.t2

Ese 1/2 que se aplica a la multiplicación, tengo serios problemas para saber como se llega a él, es decir, si nos vamos al principio:

X = posición / V = velocidad / a= aceleración
t = Tiempo / f= final / o= inicial

V = (Xf - Xo) / t
a = (Vf-Vo) / t

Por simplificar, si suponemos que un movil surge de la posición Xo = 0 , sin velocidad alguna Vo = 0, y tratamos de unir ambas formulas sustituyendo en la fórmula de la aceleración la velocidad:

a = (Xf / t) /t

Lo que es igual a: a = Xf/t2

Por lo que, si queremos saber la posición de un movil uniformemente acelerado que surge sin velocidad inicial desde el punto Xo = 0:

Xf = a.t2

Sin embargo en la formula de MRUA, este valor viene dividido por 2

Xf = (a.t2) /2

Si analizo el porque utilizando una gráfica con tiempo en el eje X y velocidad en el eje Y, entonces puede observarse que en el punto medio de la aceleración, si considerasemos esa velocidad como constante, tendríamos la misma superficie que con la gráfica que deja la recta de la aceleración, o dicho de otra forma, la aceleración constante puede "transformarse" para averiguar la distancia en la "velocidad media",

Velocidad Media = (vf - Vo) /2

Sustituyendo con la formula anterior

a = (Vf - Vo ) / t
Vf - Vo = at

Si Vo = 0

(Vf - Vo).t = a.t2

Con lo que, metiendo la Velocidad media en la formula de la aceleración sale:

Velocidad media = a.t2 / 2

Que es lo que da la formula.

Tras todo esto que me ha costado 2 horas, sigo sin entender porque tengo que meter la velocidad media de por medio, y por qué el razonamiento primero que hice está mal. No entiendo porque al sustituir las formulas originales me da un resultado erroneo (ya que no me sale el 1/2 por ninguna parte), y tengo que hacer la "milonga" esta de la velocidad media.

No se si se me ha entendido, pero si ha sido así ¿alquien puede explicarmelo?


Gracias

La fórmula

$$x = v t \ ,$$

sólo es válida si la velocidad es constante todo el rato. Si el cuerpo está acelerado, es obvio que no vale: la velocidad cambia en cada instante.

Imagínate que un cuerpo va durante un tiempo $t_1$ a una velocidad $v_1$, y luego un tiempo $t_2$ a una velocidad $v_2$. El desplazamiento total será

$$x = v_1 t_1 + v_2 t_2 \ ,$$

que no es igual a $v_2 (t_1 + t_2)$. En tu cálculo, esto es lo que has puesto: la velocidad final (a t, en tu caso) por el tiempo total.

La forma correcta es sumar todos los tramos que se realizan a diversas velocidades. Técnicamente, uno supone un intervalo infinitesimal de tiempo entre $t$ y $t+\dd t$. En este intervalo, la velocidad es constante y tiene un valor $v(t) = a t$. Sólo hay que sumar todos estos invervalos; como la velocidad es constante en ellos sí que vale la fórmula cutre "velocidad por intervalo de tiempo". La forma de hacer una suma contínua, es una integral

$$x = \int v(t) \big[(t+\dd t)-t\big] = \int_0^t v \dd t .$$