Otras carreras Impulso, fórmulas

[Peregring_Lok0ooo0]

Buenas tardes/noches. Tengo una pequeña duda con las definiciones y equivalencias de las fórmulas entre fuerza, impulso y cantidad de movimiento.

Tenemos por un lado, y esto es indiscutible en el contexto de la mecánica newtoniana:

$\vec{p}(t) = m\vec{v}(t)$

Y luego, por definición también:

$\displaystyle \vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}=m\vec{a}(t)$

Ahora:

$\displaystyle \vec{I}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$

Todo esto son definiciones.

Ahora me encuentro por internet todas estas equivalencias de formulación del impulso y, aunque sé por de dónde salen (el procedimiento) esas equivalencias, algunas no entiendo por qué:

$\vec{I}(t)=\vec{F}(t)dt$

Sin embargo esta ecuación no concilia con la original:
$\displaystyle \vec{I}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}=\frac{\vec{F}(t)dt}{dt}=\vec{F}(t)$

lo cuál no tiene mucho sentido (supongo que esto tendrá una explicación bastante tonta y obvia).

Por otro lado:
$\displaystyle \vec{I}(t)=\int_{t_i}^{t_f}\vec{F}(t)dt$

¿Cómo se llega desde la definición original de impulso, a esta versión con la integral?, por que en la definición original usamos valores infinitesimales de la variable tiempo (dt), pero en la versión de integral tenemos un intervalo de tiempo $[t_0, t_1]$, ¿no sería esa equivalencia más bien aplicable al contexto de $\Delta\vec{p}(t)$?.

Tengo un pequeño lío con estas cuestiones, quizás derivadas de que no tengo un manejo familiar con integrales :P (es un medio chiste), no sé...

Saludos.
Peregring_Lok0ooo0.

[Fastolfe]

Re: Impulso, fórmulas

$\displaystyle \vec{I}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$

Hola, no estoy de acuerdo con esta expresión, no creo que sea sacado de la teoría. Yo mas bien diria:

$$\displaystyle \vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$$

integrando esta expresion (1):

$$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\cdot dt=\int_{t_1}^{t_2}d\vec{p}$$

$$\displaystyle \vec{I}_{t_1\rightarrow t_2}=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$$

[Peregring_Lok0ooo0]

Re: Impulso, fórmulas

Es cierto, ah sido un error mío mu tonto (ya decía yo). De todos modos sigo sin asumir todo esto del todo, tengo que reavivar un poco los conocimientos.

Creo recordar que el impulso era una fuerza aplicada durante un intervalo de tiempo. ¿Cuál sería la definición natural de impulso (sin sacar la fórmula de otras fórmulas, sino directamente de la definición natural de impulso) de manera macroscópica (por llamarla de alguna forma, quiero decir en concepto de $\Delta$), e infinitesimal a partir de la primera?.

Es decir al estilo de
$\displaystyle \vec{a}(t)_m=\frac{\vec{v}(t_f)-\vec{v}(t_i)}{t_f-t_i}=\frac{\Delta\vec{v}(t)}{\Delta t}$

la versión en concepto de $\Delta$ ..., y de ahí:

$\displaystyle \vec{a}(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{v}(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}$

Pués así para el impulso, es decir el desarrollo entero. Creo que con esto completaré mi círculo conceptual del meollo xD.

Saludos y gracias.

[pod]

Re: Impulso, fórmulas

El impulso es una cantidad bastante inútil, sinceramente Sólo es realmente útil si la fuerza es constante, y se obtiene multiplicando la fuerza por el tiempo de aplicación,

$$I = F \, \Delta t\ .$$

Si la fuerza no fuera constante, esto se convertiría en una integral,

$$I = \int F \, \dd t \ .$$

Y lo único interesante es que el impulso es igual a la variación del momento, según la segunda ley de Newton,

$$I = \Delta p \ ,$$

fíjate que (2) es válida incluso para fuerzas no constantes, siempre que hayas definido el impulso como (1). Como ves, no sirve de nada, esto mismo se puede llegar integrando la ley de Newton.

[polonio]

Re: Impulso, fórmulas

Bueno, el análisis del impulso puede ser bastante útil cuando hay una discontinuidad en las velocidades: ésta se suele dar por la imposición o eliminación brusca de una ligadura (una percusión, se llama esto, aunque sea un poco anticuado: por ejemplo: corte de una cuerda, patada a un balón,...). Justo en ese instante las fuerzas aplicadas (gravedad,... que causan una aceleración finita) son despreciables frente al efecto de la percusión (que causa una discontinuidad en la velocidad y, por tanto, la acel. sería infinita).

Pues bien, en ese instante justo, lo único interesante es, como dice pod, $\vec{I}=\Delta \vec{p}$ y la variación de su momento respecto a un punto $O$ $\vec{\Gamma}_O=\Delta \vec{L}_O$

Es un caso muy particular, pero a un ingeniero mecánico, por ejemplo, le suele interesar.