1r ciclo Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

[xjuancoolx]

Hola a todos, soi nuevo en este foro y me parece chevre y que siga adelante ...

Bueno el motivo de este mensaje es a los estudiantes de fisica universitaria que tengan dominio de integrales, me podrian ayudar con este problema que el profesor nos planteo en clases , yo soy estudiante de ingenieria de la universidad nacional de ingenieria de lima-peru y estuve intentando ,desarrollarlo , pero al parecer necesito el dominio de integrales , cosa que aun no domino mucho por que recien estoy en el primer ciclo , pero me gustaria saber como se desarrolla por integrales, ya que puedo entender un poco lo que son integrales

bueno gracias de antemano aca les dejo el proble :

HALLAR EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL SIGUIENTE SOLIDO:

me podrian mandar la resolucion paso a paso al siguiente correo : **************************************

gracias

[alefriz]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Hola a todos, soi nuevo en este foro y me parece chevre y que siga adelante ...

Bueno el motivo de este mensaje es a los estudiantes de fisica universitaria que tengan dominio de integrales, me podrian ayudar con este problema que el profesor nos planteo en clases , yo soy estudiante de ingenieria de la universidad nacional de ingenieria de lima-peru y estuve intentando ,desarrollarlo , pero al parecer necesito el dominio de integrales , cosa que aun no domino mucho por que recien estoy en el primer ciclo , pero me gustaria saber como se desarrolla por integrales, ya que puedo entender un poco lo que son integrales

bueno gracias de antemano aca les dejo el proble :

HALLAR EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL SIGUIENTE SOLIDO:

me podrian mandar la resolucion paso a paso al siguiente correo : **************************************

gracias

Buenas,

Realmente no es necesario realizar integrales, ya que por simple geometría se puede calcular el centro de gravedad del conjunto. Suponemos que toda la pieza tiene una densidad uniforme de valor $\rho$. Se toma el origen de referencia en el eje del cilindro original, en su base inferior.

Primero tienes que calcular el volumen inicial ($V_i$) y centro de gravedad inicial ($x_i$,$y_i$) del cilindro original intacto, y descontarle el centro de gravedad del trozo quitado ($x_q$,$y_q$), con su volumen ($V_q$) , del trozo quitado. Así podremos obtener el centro de gravedad final del conjunto:

$$y_f \rho V_f = y_i \rho V_i - y_q \rho V_q$$

$$x_f \rho V_f = x_i \rho V_i - x_q \rho V_q$$

Ahora hay que calcular todo lo que necesitemos:

$$V_i = \pi (2R)^2 (R+H) = 4 \pi R^2 (R+H)$$

$$y_i = \frac{R+H}{2}$$

$$x_i = 0$$

$$V_q = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\pi (2R)^2 H)) = \pi R^2 H$$

$$y_q = R + \frac{2}{3}H$$

$$x_q = - \frac{2}{3}R$$

$$V_f = V_i - V_q$$

Sustituyendo todos estos valores en las ecuaciones (1) y (2), obtendremos el centro de gravedad de la pieza pedida ($x_f$,$y_f$).

Un saludo,

[pod]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

$$V_q = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\pi (2R)^2 H)) = \pi R^2 H$$

Me gustaría saber como sabes esto. Parece que haces una especie de triangulo o algo asi? La verdad es que a mi me sale algo diferente

[[Beto]]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Hola Alefriz, me parece que te has confundido al calcular los volúmenes, y no estoy muy seguro ... pero a simple vista me parece que las coordenadas del centro de gravedad de la pieza quitada no son esas.

[alefriz]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Me gustaría saber como sabes esto. Parece que haces una especie de triangulo o algo asi? La verdad es que a mi me sale algo diferente

Cierto es, este volumen no se como caraj... lo he calculado, pero está mal. Haciéndolo por integral me da:

$$V_q = \frac{\pi}{3}R^2H$$

Si no me he vuelto a equivocar...

[pod]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Cierto es, este volumen no se como caraj... lo he calculado, pero está mal. Haciéndolo por integral me da:

$$V_q = \frac{\pi}{3}R^2H$$

Si no me he vuelto a equivocar...

Bueno, yo lo hago dividiendo ese volumen en triángulos perpendiculares al eje x,

$$A(x) = \frac12 x z = \frac12 y h\left( 1 + \frac y R \right) = \frac12 R h \sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} \left( 1 + \sqrt{1- \frac{x^2}{R^2}} \right) \ .$$

Integrando

$$V_q = \int_{-R}^R \!\! \dd x\ A(x) = \frac{3\pi-8}{12} h R^2 \ .$$

No estoy de si he cometido algún error

[Jose D. Escobedo]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Pod creo que $\displaystyle V_q = \frac{3 \pi - 8}{12} hR^2 \sim \frac{1}{12} hR^2$ es muy poco volumen, si tomamos encuenta que esa cuña es como una cuarta parte del volumen del cilindro $\displaystyle V_d \sim \frac{\pi}{4} hR^2$.

Calculando con integrales me dió que $\displaystyle V_q = \frac{2}{3} hR^2$

equacion del cilindro: $(y-R)^2 + x^2 = R^2$

equacion del plano: $\displaystyle z=\frac{h}{R} y$

parametros de variacion de la cuña son: $\displaystyle \frac{h}{R} y \le z \le h$ para la altura.
$R-\sqrt{R^2 -x^2} \le y \le R$ para la distancia horizontal.

y finalmente $-R \le x \le R$ para la distancia transversal $\Rightarrow$

$\displaystyle V_q = \int \int \int_G dV = \int_{-R}^R \int_{R-\sqrt{R^2 -x^2}}^R \int_{\frac{h}{R} y}^h dz dy dx$

$\displaystyle V_q = \int_{-R}^R \lbrace [ hy - \frac{h}{2R}y^2]_{R-\sqrt{R^2-x^2}}^R \rbrace dx$

$\displaystyle V_q = 2 \int_0^R \lbrace (hR - \frac{h}{2}R) - [h(R-\sqrt{R^2-x^2})- \frac{h}{2R}(R-\sqrt{R^2-x^2})^2] \rbrace dx$

$\displaystyle V_q = \int_0^R (hR -\frac{h}{R}x^2) dx = \frac{2}{3} h R^2$

[pod]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

En efecto, mi error era que la altura del triangulo no es $z$, sino $h-z$,

$$V_q = \int_{-R}^R \!\!\dd x\ \frac12 y (h-z) = \int_{-R}^R \!\!\dd x\ \frac{h}{2R} \Big( R^2 - x^2 \Big) = \frac23 h R^2 \ .$$

[xjuancoolx]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Pod creo que $\displaystyle V_q = \frac{3 \pi - 8}{12} hR^2 \sim \frac{1}{12} hR^2$ es muy poco volumen, si tomamos encuenta que esa cuña es como una cuarta parte del volumen del cilindro $\displaystyle V_d \sim \frac{\pi}{4} hR^2$.

Calculando con integrales me dió que $\displaystyle V_q = \frac{2}{3} hR^2$

equacion del cilindro: $(y-R)^2 + x^2 = R^2$

equacion del plano: $\displaystyle z=\frac{h}{R} y$

parametros de variacion de la cuña son: $\displaystyle \frac{h}{R} y \le z \le h$ para la altura.
$R-\sqrt{R^2 -x^2} \le y \le R$ para la distancia horizontal.

y finalmente $-R \le x \le R$ para la distancia transversal $\Rightarrow$

$\displaystyle V_q = \int \int \int_G dV = \int_{-R}^R \int_{R-\sqrt{R^2 -x^2}}^R \int_{\frac{h}{R} y}^h dz dy dx$

$\displaystyle V_q = \int_{-R}^R \lbrace [ hy - \frac{h}{2R}y^2]_{R-\sqrt{R^2-x^2}}^R \rbrace dx$

$\displaystyle V_q = 2 \int_0^R \lbrace (hR - \frac{h}{2}R) - [h(R-\sqrt{R^2-x^2})- \frac{h}{2R}(R-\sqrt{R^2-x^2})^2] \rbrace dx$

$\displaystyle V_q = \int_0^R (hR -\frac{h}{R}x^2) dx = \frac{2}{3} h R^2$

[FONT=Comic Sans MS]gracias pero creo que aun estamos a la mitad del problema ...!!
aun falta las coordenadas del solido que falta para completar el cilindo de altura "R+H" ...!!
ya que recien tenemos el "Vq" y falta sus coordenadas ....!! [/FONT]

[xjuancoolx]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Bueno, yo lo hago dividiendo ese volumen en triángulos perpendiculares al eje x,

$$A(x) = \frac12 x z = \frac12 y h\left( 1 + \frac y R \right) = \frac12 R h \sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} \left( 1 + \sqrt{1- \frac{x^2}{R^2}} \right) \ .$$

Integrando

$$V_q = \int_{-R}^R \!\! \dd x\ A(x) = \frac{3\pi-8}{12} h R^2 \ .$$

No estoy de si he cometido algún error

[FONT=Comic Sans MS]bueno gracias por preocuparse por mi problema , pero aun falta las coordenadas de este cuña cilindrica
[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]ya que recien hallaste el volumen ...!!!

pero falta sus coordenadas...!!
[/FONT]

[xjuancoolx]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Cierto es, este volumen no se como caraj... lo he calculado, pero está mal. Haciéndolo por integral me da:

$$V_q = \frac{\pi}{3}R^2H$$

Si no me he vuelto a equivocar...

[FONT=Comic Sans MS]bueno gracias por preocuparte por el problema..!!
pero aun falta las coordenadas de esa cuña ..!!
ya que recien vas en el volumen..!!
grax[/FONT]

[Fastolfe]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Hay que calcular las integrales:
$\\ \displaystyle\vec{r}_{c.g.}=\frac{\int_V\vec{r}dV}{\int_V dV}\\ \vec{r}=(x,y,z)$

Se subdivide con los siguientes limites de integración en coordenadas cilíndricas:

1. cilindro de radio R y altura R

   $$\\0<r<R\\0<\theta<2\pi\\-R<z<0\\$$

2. la mitad de un cilindro de radio R y altura H

   $$\\0<r<R\\\pi<\theta<2\pi\\0<z<H\\$$

3. y la dichosa cuña

   $$\\0<r<R\\0<\theta<\pi\\0<z<\left(-\frac{H}{R}\cdot rsen\theta+H\right)\\$$

O sea, las integrales son simples pero no pocas:

El volumen sumando las secciones sera:

$\displaystyle V_T=V_1+V_2+V_3=\pi R^3+\frac{\pi R^2H}{2}+V_3$
$\displaystyle V_3=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}\int_{0}^{-\frac{H}{R}\cdot rsen\theta+H}r dz dr d\theta=HR^2\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\right)$
$\displaystyle V_T=\pi R^3+HR^2\cdot\left(\pi-\frac{2}{3}\right)$

El resto son integrales similares a esta. Eso es lo que se me ocurre, despues dejo los resultados.

[[Beto]]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

[FONT=Comic Sans MS]bueno gracias por preocuparte por el problema..!!
pero aun falta las coordenadas de esa cuña ..!!
ya que recien vas en el volumen..!!
grax[/FONT]

Te recomendaría que leas algo de integración en más de una variable (en primer ciclo no ven eso en la UNI), seguramente lo verás mas adelante en tercer ciclo ... pero bueno tu profesor seguramente quería que no les saliera el ejercicio .

[[Beto]]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Se subdivide con los siguientes limites de integración en coordenadas cilíndricas:

1. cilindro de radio R y altura R

   $$\\0<r<R\\0<\theta<2\pi\\-R<z<0\\$$

2. la mitad de un cilindro de radio R y altura H

   $$\\0<r<R\\\pi<\theta<2\pi\\0<z<H\\$$

3. y la dichosa cuña

   $$\\0<r<R\\0<\theta<\pi\\0<z<\left(-\frac{H}{R}\cdot rsen\theta+H\right)\\$$

O sea, las integrales son simples pero no pocas:

Hola, me parece que los límites de integración para $Z$, no son los correctos en dos de los casos.

[Fastolfe]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Hola, me parece que los límites de integración para $Z$, no son los correctos en dos de los casos.

Depende de cuales.....si dices la equivocacion es mas facil para todos ver el error