1r ciclo Potencial gravitatorio armónico

[KyAlOx]

Saludos.

En un problema de Cálculo Diferencial mandaban comprobar si determinadas funciones eran armónicas, es decir, si cumplían:

$\Delta f(x)=0$

Uno de los casos consistía en comprobar si lo era el potencial newtoniano

$f(r)=\dfrac{-1}{r}$

con

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Nos dio a varios por hacerlo mientras estábamos en la cafetería de Derecho (no preguntéis xDDD), y, efectivamente, nos daba que las derivadas segundas se anulaban. Sin embargo, nuestra duda es: ¿qué significado físico tiene que una función (el potencial, vaya) sea armónica? Se me ha ocurrido que puede tener algo que ver con la distribución del potencial o algo...el profesor insinuó algo así, pero no sé.

Gracias por adelantado ^.^

K.

[pod]

Re: Potencial gravitatorio armónico

Los dos únicos motivos por los que alguien hubiera querido ir al bar de derecho es por que allí el café está mas bueno, o están más buenas las que toman café allí...

De hecho, el potencial de Newton (o de Coulomb, que para el caso es el mismo) no es armónico; para r=0 las derivadas no están definidas. Supongo que la demostración está un poquitín por encima de tu nivel, pero en realidad el laplaciano de 1/r es una delta de Dirac.

El significado físico está relacionado con el teorema de Gauss. El campo gravitatorio es $\vec g = - \vec \nabla V$, por lo que

$$\nabla^2 V = \vec\nabla \cdot \vec\nabla V = - \vec\nabla \cdot \vec g\ .$$

Supongo que tienes en mente el teorema de Gauss para la gravedad (o para el campo eléctrico-estático, que es lo mismo), la divergencia del campo es igual a la densidad volúmica de masa (o de carga, para $\vec E$). Es decir, que un campo gravitatório sea armónico significa que no hay masa en ningún sitio. Y, óbviamente, ese no es el caso del potencial de Newton, tiene que haber almenos una masa (en r=0, que es donde las derivadas tienen problemas).

En general, que el laplaciano sea cero significa que hay un campo vectorial ($\vec\nabla V$) cuyas líneas de campo no confluyen ni surgen de ningún punto (excepto el infinito).

[KyAlOx]

Re: Potencial gravitatorio armónico

Gracias pod =) ayer estuve mirando con un colega de clase tu post durante unos 15 minutos, línea por línea, buscando cosas por internet y por libros, y creo que ya lo hemos pillado perfectamente xDD al menos a nuestro nivel, claro. Como tú dices, todavía nos queda para poder demostrarlo formalmente, pero bueno, hemos entendido la idea.

Por cierto, deberíamos cambiar el artículo de Wikipedia en español...en el artículo de Operador Laplaciano, pone al campo gravitatorio como ejemplo de función armónica. Debería ponerse una aclaración o algo xD

Merci again.

K.