Secundaria R.D.S

[charrua]

Hola a todos Agradezco sugerencias y aportes.


Imaginemos una esfera que rueda sin deslizar desde lo alto de una plano inclinado (altura h) siendo el ángulo del plano con la horizontal $\alpha.$
Quiero probar que el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento estático sobre la esfera es nula.

Para ello calculo el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento estático sobre el rígido sobre el punto de contacto que lo llamaré P es nulo. Para ello basta con ver que en el instante t en el cual actúa la fuerza de rozamiento estático el punto P tiene desplazamiento nulo en dirección de la fuerza , esto hace que el trabajo de dicha fuerza sea cero.
Nota es importante decir que la fuerza de roz. Realiza torque sobre el rígido respecto del centro de masa y dicho torque es el que le da un aumento en la energía rotacional que hace que la energía cinética traslacional disminuya así como también la energía potencial gravitatoria.

Saludos..

[Metaleer]

Re: R.D.S

Hola,

Yo lo que haría es lo siguiente:

Se descompone el trabajo en dos partes:

- Trabajo debido a la traslación
- Trabajo debido a la rotación

Para el trabajo debido a la traslación, tienes de nuevo otras dos partes:

- Debido al peso
- Debido a la fuerza de rozamiento de rotación

Es decir

$W_1 = mg \sin \alpha - F_R x$

donde $x$ es lo que avanza el sólido sobre el plano al girar un cierto ángulo.

Por otra parte, el trabajo debido a la rotación será:

$W_2 = M_{cm}\theta$

donde $M_{cm}$ es el momento tomado con respecto al centro de masas (centro de la esfera en este caso) y $\theta$ el ángulo que gira la esfera para ocasionar un desplazamiento de $x$ sobre el plano. Es decir

$W_2 = M_{cm}\theta = \displaystyle F_R R \frac{x}{R} = F_R x$

La suma de los dos trabajos será el trabajo total:

$W = W_1 + W_2 = mg \sin \alpha - F_R x + F_R x = mg \sin \alpha$

que como puedes ver, todo término que tenga que ver con la fuerza de rozamiento se ha anulado y sólo queda el trabajo asociado a la fuerza gravitatoria, igual que lo que pasa con una partícula.

Otra forma de deducirlo va encaminado a lo que dices tú, teniendo en cuenta que todo punto de contacto del plano y de la esfera es el centro instantáneo de rotación (y por tanto su velocidad ahí es nula). Como la velocidad ahí es nula, y donde se aplica siempre la fuerza de rozamiento es precisamente en ese punto, puedes considerarlo como un "punto" que nunca se desplaza y por tanto la fuerza de rozamiento por el desplazamiento daría 0.

También debes tener en cuenta dos cosas:

1. Que no realice trabajo no significa que sea una fuerza conservativa.

2. Realmente, este caso de rotación sin deslizamiento con 0 pérdidas es un caso ideal; en la práctica habrás visto que al tirar una esfera por una superficie (por muy pulida, lisa, dura, etc... que sea), siempre acaba parándose. Conclusión: algún agente ha realizado un trabajo para cambiar la energía cinética del sólido (teorema de las fuerzas vivas.) Explicación: realmente, ni el sólido ni la superficie son totalmente rígidas, y siempre ocurre que queda un poco encajada o "hundida" en la superficie, y esto provoca unas reacciones que siempre resultan ser un poco mayores la resultante de las normales en la parte hacia donde rueda el sólido, lo que resulta en una fuerza total sobre la horizontal en contra del movimiento del sólido, que es lo que ocasiona el frenado.

Saludos.

[charrua]

Re: R.D.S

Ok . sabes que este debate lo teníamos desde hace unas semanas con otros estudiantes de ingeniería.

Agradezco mucho la explicación me es muy útil .

Saludos de charrua

[Jose D. Escobedo]

Re: R.D.S

Creo que difiero un poco de sus puntos de vista.
Para mi el trabajo de la fuerza de rozamiento es la energia cinetica de rotacion y si esta fuerza de rozamiento no existiera la energia potencial se tranformaria en su totalidad en energia cinetica de translacion, entonces por la $2^{da}$ ley de Newton se tiene que:

$\displaystyle mg \sin \alpha - f_r = m \frac{d^2 x}{dt^2} \Rightarrow$

$\displaystyle \int_{x_o}^{x_1} mg \sin \alpha dx -\int _{x_o}^{x_1} f_r dx = \int_{o}^{v} m \frac{dv}{dt}dx \Rightarrow$

$\displaystyle mgh - \int_{x_o}^{x_1} F_r dx =\frac{1}{2} m v^2 \Rightarrow$

$\displaystyle mgh= \frac{1}{2}m v^2 + \int_{x_o}^{x_1} f_r dx$...(1)

Ahora teniendo en cuenta la conservacion de energia, se tiene que la energia total inicial es la energia potencial que se transforma en energia cinetica de translacion y energia cinetica de rotacion (siendo esta ultima la consecuencia de la fuerza de rozamiento) entonces:

$\displaystyle mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2}I \dot \phi^2$...(2)

de (1) y (2) se puede inferir que:

$\displaystyle \int_{x_o}^{x_1} f_r dx = \frac{1}{2} I \dot \phi^2$

Y si se quisiera estar seguro de ello se podria probar usando momento de fuerzas o torques, entonces:

$\vec r \times f_r = I \ddot \phi \hat e_p \Rightarrow$

$r f_r = I \ddot \phi \Rightarrow$

$\displaystyle \int_{x_o}^{x_1} f_r dx = \int_{x_o}^{x_1} \frac{I}{r} \ddot \phi dx$
pero teniendo en cuenta la condicion de rodamiento entonces $\displaystyle r \dot \phi=v= \frac{dx}{dt} \rightarrow dx = r \dot \phi dt$

$\displaystyle \int_{x_o}^{x_1} f_r dx = I\int_{0}^{\dot \phi} \dot \phi d \dot \phi = \frac{1}{2}I \dot \phi^2$

Asi pues para mi el trabajo de la fuerza de rozamiento es la energia cinetica de rotacion.

[pod]

Re: R.D.S

Jose, tu razonamiento tiene un pequeño error. El término

$$\int f_r \dd x\ ,$$

no es el trabajo de la fuerza de rozamiento. El trabajo de una fuerza se define como el producto escalar de dicha fuerza por el desplazamiento que sufre el punto de aplicación. En una rueda de este tipo, el punto de aplicación cambia constantemente, pero la condición de "no deslizamiento" significa que el punto de aplicación no se está desplazando en el instante que está en contacto con el plano. Por lo tanto, el rozamiento no hace trabajo.

Desde el punto de vista de energías, si el rozamiento hiciera trabajo, sería no conservativo y por lo tanto la energía mecánica disminuiría; y por lo tanto no valdría igualar la energía potencial inicial con la energía cinética (traslación + rotación) final.

En resumen, el rozamiento no hace trabajo, pero si causa que la energía se inicial reparta de forma diferente (i.e, que una parte de la energía se tenga que gastar en hacer girar la rueda). Por eso la rueda fue un invento tan bueno, por que no disipa energía.

[Jose D. Escobedo]

Re: R.D.S

Jose, tu razonamiento tiene un pequeño error.

En resumen, el rozamiento no hace trabajo, pero si causa que la energía se inicial reparta de forma diferente (i.e, que una parte de la energía se tenga que gastar en hacer girar la rueda). Por eso la rueda fue un invento tan bueno, por que no disipa energía.

Tienes razon pod si a la fuerzas aplicadas en este problema le aplico la definicion de trabajo. me da lo mismo (o sea la expresion (1)) que esta en mi post #4.

Es decir:$\displaystyle \int ( \vec N +\vec f_r +m \vec g) \cdot d \vec x = \int m \vec a \cdot d \vec x \Rightarrow$

$\displaystyle -\int f_r dx + Ep = Ec$

Todo esto lo realice mentamente omitiendo el producto punto por que lo vi intuitivamente y lo supuse como una perdida de energia.

Despues ni si quiera aplique la definicion y asumi las realizar las integrales tal cual sin tener en cuenta que cuando $r \times f_r = - r f_r \hat k$ es multiplicado por $\cdot d \vec x$ el resultado es cero por los vectores son perpendiculares. Resultando que $f_r$ es como un mecanismo de cambiar energia cinetica de translacion en energia cinetica de rotacion.

[pod]

Re: R.D.S

Resultando que $f_r$ es como un mecanismo de cambiar energia cinetica de translacion en energia cinetica de rotacion.

Sí, algo así. Técnicamente es una fuerza de ligadura; su finalidad es esa, efectuar la fuerza necesaria para asegurarse que se cumple una relación concreta (ligadura) entre varias variables del movimiento; en este caso, la ligadura es que no hay deslizamiento, $v = r \omega$.

Las ligaduras son un aspecto muy importante de la física, aunque no suele dársele importancia. Siempre que un problema se soluciona vía conservación de energías, implícitamente se está haciendo uso de alguna ligadura. Por ejemplo, al estudiar una caída libre, aplicamos conservación de energías para saber el valor de la velocidad tras haber bajado una cierta distancia, pero la conservación de la energía no nos dice la dirección de la velocidad, sólo el módulo. Como la conservación de la energía es sólo una ecuación, sólo elimina un grado de libertad, en este problema tenemos un total de seis grados de libertad (las tres componentes de la velocidad lineal, y las tres componentes del momento angular); así que necesitamos seis ecuaciones para resolver el problema completamente:

1. La ligadura de que no hay deslizamiento.
2. La ligadura de que la rueda baja por la superfície del plano inclinado.
3. No hay movimiento en la dirección horizontal del plano inclinado (es decir, no se mueve hacia adentro en el papel, cuando el plano se pinta de perfil).
4. No hay rotación en la misma dirección del punto 3.
5. La rueda no gira como una peonza (junto con la anterior, esto nos asegura que el único giro posible es el de la dirección descendiente).
6. La conservación de la energía, que es la única ecuación del movimiento que uno tiene.

Muchas de estas son tan óbvias que ni siquiera se suelen contar. Pero tienen que estar ahí para que uno pueda resolver el problema. Son ligadoras ocutas.