Otras carreras problema de trenes...

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dos trenes que viajan en la misma via, uno hacie el otro, cada uno de ellos con una rapidez de 40 km/h; cuando estan separados 80km un pajaro vuela de uno de los trenes hacia el otro con una rapidez de 60 km/h; al encontrarse con el segundo regresa inmediatamente hacia el primero y asi sucesivamente. encontrar: a) el numero de viajes que realiza el pajaro antes de que choquen los trenes, b) la distancia total que recorre el pajaro durante el evento, c) el tiempo total de vuelo del pajaro durante el recorrido.

[[Beto]]

Re: problema de trenes...

Hola, para resolver este ejercicio ubicaré el sistema de referencia en el tren que se acerca por la izquierda con una rapidez $v_1$, de ese modo las rapideces relativas respecto a este tren serán $v'_2=v_1+v_2$ para el tren que se acerca por la derecha, y $v'_3=v_3+v_1$ para el pajaro que se acerca volando o $v'_3=v_3-v_1$ cuando se aleja volando.

Inicialmente cuando el pajaro inicia su movimiento estarán separados una distancia $d$, entonces el tiempo que le toma en llegar hasta donde esta el tren será:

$$t_1=\frac{d}{v_3+v_1}$$

Mientras que el tren que se acerca por la derecha habrá recorrido una distancia:

$$d'=(v_1+v_2)t_1=\frac{d(v_1+v_2)}{v_3+v_1}$$

Luego el tiempo que empleará el pajaro en encontrarse con el tren que viene por la derecha será:

$$t'_1=\frac{d-d'}{v_2+v_3}=\frac{d-\frac{d(v_1+v_2)}{v_3+v_1}}{v_2+v_3}=\frac{d}{v_2+v_3}-\frac{d(v_1+v_2)}{(v_2+v_3)(v_1+v_3)}$$

Finalmente, luego del viaje ida y vuelta la distancia de separación entre dos dos trenes es:

$$d_1=(v_1+v_2)t'_1=\frac{d(v_1+v_2)}{v_2+v_3}-\frac{d(v_1+v_2)^2}{(v_2+v_3)(v_1+v_3)}$$

Así finalmente tendrás que el tiempo total transcurrido en un viaje ida y vuelta es:

$$T_1=t_1+t'_1=\frac{d}{v_1+v_3}+\frac{d}{v_2+v_3}-\frac{d(v_1+v_2)}{(v_2+v_3)(v_1+v_3)}$$

Y la distancia recorrida es de:

$$D_1=v_3T_1=\frac{dv_3}{v_1+v_3}+\frac{dv_3}{v_2+v_3}-\frac{dv_3(v_1+v_2)}{(v_2+v_3)(v_1+v_3)}$$

Como en (4) conoces la nueva distancia de separacion inicial, para conocer la distancia de separacion luego del segundo viaje ida y vuelta tienes que reemplazar ahi mismo $d$ por $d_1$. Seguramen te así encontrarás alguna forma recurrente.

Si te preguntas ¿cuando me detengo? ... es sencillo, el procedimiento acaba cuando los dos trenes se encuentren, es decir cuado el tiempo total transcurrido del vuelo del ave, es mayor que el tiempo que demoran en encontrarse los trenes.

[pod]

Re: problema de trenes...

En realidad, se puede contestar sin hacer apenas cálculos. El tiempo de vuelo total será igual al tiempo que tarden los trenes en chocar (que bestia ponerlos en la misma vía, ¿no?); y la distancia total recorrida será igual a ese tiempo multiplicado por la velocidad del pajarraco.