Otras carreras Ondas armónicas. Interferencias

[mad_mardigan]

Buenas, es la primera vez que escribo en este foro. Soy estudiante de ing.informática y me han planteado una serie de problemas y solo me queda por solucionar uno que no sé por donde 'cogerlo'.

Os pongo el problema:
En la interferencia de dos ondas armónicas con vibraciones paralelas, teniendo ambas la frecuencia de 100hz, sabemos que para t = 0 la elongación y velocidad resultantes en cualquier punto vienen dadas, escritas en cgs, respectivamente por y(x,0) = 0.05(3^1/2 · sen 2x + cos 2x) y v(x,0)=10pi(3^1/2 · cos 2x - sen 2x). Calcular la ecuación de la onda interferencia de las dos.

Es que no lo entiendo bien: son dos ondas que forman una y esa es la que me piden? por que están expresadas con sen y cos? es la primera vez que lo veo. ¿Tengo que sumar las ondas? ¿como?

Espero sus consejos. Gracias de antemano y un saludo.

[pod]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Interferencia de ondas es lo mismo que suma de las mismas. Te dicen que tienen la misma frecuencia, así que la única diferencia puede ser la fase inicial,

$$y(x,t) = A \sin(kx-\omega t + \delta_1) + B \sin(kx-\omega t + \delta_2) \ .$$

Tendrás que poner esto a tiempo cero, y usar igualdades del estilo

$$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\ .$$

A partir de ahí, será cuestión de igualar término a término para sacar todas las constantes que no tienes, que son todas menos $\omega = 2\pi\nu$.

[aLFRe]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Buenas, es la primera vez que escribo en este foro. Soy estudiante de ing.informática y me han planteado una serie de problemas y solo me queda por solucionar uno que no sé por donde 'cogerlo'.

Hola. Bienvenido.

Os pongo el problema:
En la interferencia de dos ondas armónicas con vibraciones paralelas, teniendo ambas la frecuencia de 100hz, sabemos que para t = 0 la elongación y velocidad resultantes en cualquier punto vienen dadas, escritas en cgs, respectivamente por y(x,0) = 0.05(3^1/2 · sen 2x + cos 2x) y v(x,0)=10pi(3^1/2 · cos 2x - sen 2x). Calcular la ecuación de la onda interferencia de las dos.

Es que no lo entiendo bien: son dos ondas que forman una y esa es la que me piden? por que están expresadas con sen y cos? es la primera vez que lo veo. ¿Tengo que sumar las ondas? ¿como?

La interferencia es eso, aplicar el principio de superposición ( válido para la física lineal )
y sumar las elongaciones de dos ondas en cada instante y en cada punto del espacio.
En este caso tienes elongación y velocidad en un instante inicial t=0
y te pide obtenerla para todo t.

Te dice vibraciones paralelas por lo cual la vibración
de la magnitud física que describa la y ( supongo que sera posición )
de las partículas del medio tiene lugar en la misma dirección para ambas.
Observa que la dependencia espacial de la onda es en la coordenada x
( lo que aparece en el argumento de la función periódica ) por lo cual
la onda es trasversal.

El que las funciones de las dos vibraciones sean una suma de $\sin$
y $\cos$ puede indicarte que estas componiendo vibraciones con un desfase
de $\frac{\pi}{2}$

Vamos con la dependencia temporal
$\omega=\frac{2\,\pi}{T}=2\,\pi\,\nu$
Por último comentarte que
$v_y=\frac{d\,y}{d\,t}$
$v_y(x,0)=(\frac{d\,y}{d\,t})_{t=0}$

Creo que con esto ya puedes plantear las ecuaciones
y sacar la forma de la onda.
Si te quedan dudas insiste.

Espero sus consejos. Gracias de antemano y un saludo.

De nada.
Un saludo.

[mad_mardigan]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Antes de nada, gracias por responder

La interferencia es eso, aplicar el principio de superposición ( válido para la física lineal )
y sumar las elongaciones de dos ondas en cada instante y en cada punto del espacio.
En este caso tienes elongación y velocidad en un instante inicial t=0
y te pide obtenerla para todo t.

Te dice vibraciones paralelas por lo cual la vibración
de la magnitud física que describa la y ( supongo que sera posición )
de las partículas del medio tiene lugar en la misma dirección para ambas.
Observa que la dependencia espacial de la onda es en la coordenada x
( lo que aparece en el argumento de la función periódica ) por lo cual
la onda es trasversal.

El que las funciones de las dos vibraciones sean una suma de
y puede indicarte que estas componiendo vibraciones con un desfase
de

Todo esto lo entiendo, pero como procedo?, en el post de más arriba me dicen que tengo que proceder con esto:



Pero no llego a encontrar la relación con las ecuacicones:
y(x,0) = 0.05(3^1/2 · sen 2x + cos 2x) y v(x,0)=10pi(3^1/2 · cos 2x - sen 2x).

Perdonad mi torpeza, pero es que no lo veo.

[pod]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Antes de nada, gracias por responder



Todo esto lo entiendo, pero como procedo?, en el post de más arriba me dicen que tengo que proceder con esto:



Pero no llego a encontrar la relación con las ecuacicones:
y(x,0) = 0.05(3^1/2 · sen 2x + cos 2x) y v(x,0)=10pi(3^1/2 · cos 2x - sen 2x).

Perdonad mi torpeza, pero es que no lo veo.

1) Coge la expresión general de la suma de dos ondas (que te di yo). Pon t = 0.

2) Aplica la relación del seno de una suma que te he dado para los dos senos que aparecen. Te aparecerán funciones de dos tipos: las que tienen dependencia en x y los que no.

3) Saca factor común de todas las funciones que dependen de x.

4) Compara con la expresión que te dan e iguala coeficientes.

Todo esto lo tienes que hacer tanto para la elongación como para su derivada (la velocidad).

[mad_mardigan]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Mil gracias Pod ya entiendo la idea. Después de comer lo hago y posteo el resultado para poder cerrar el hilo. Hasta la tarde!!!

[mad_mardigan]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Sigo teniendo problemas:
cojo la ecuación:
[1]y(x,t) = A.sen (kx-wt + 0) --> esto es un angulo, pongo un 0
(x,0) = A.sen (kx + 0) --> porque no se poner los simbolos
aplicando lo del sen (A+B) quedaría:
A.sen(kx).cos(0) + A.cos(kx).sen(0)
cojo otra ecuación para sumar:
[2]y(x,t) = A.sen (kx-wt + 0)
y(x,0) = A.sen (kx + 0)
aplicando lo del sen (A+B) quedaría:
A.sen(kx).cos(0) + A.cos(kx).sen(0)

quedan de la misma forma, ahora sumo [1] y [2]
y = sen (kx) (A.cos 0 + A.cos 0) + cos (kx) (A.sen 0 + A.sen 0)
mi ecuación era:
y(x,0) = 0.05(3^1/2 · sen 2x + cos 2x)

¿Como hago la igualación de coeficientes? es la parte que he puesto en negrita?

[pod]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Sigo teniendo problemas:
cojo la ecuación:
[1]y(x,t) = A.sen (kx-wt + 0) --> esto es un angulo, pongo un 0
(x,0) = A.sen (kx + 0) --> porque no se poner los simbolos
aplicando lo del sen (A+B) quedaría:
A.sen(kx).cos(0) + A.cos(kx).sen(0)
cojo otra ecuación para sumar:
[2]y(x,t) = A.sen (kx-wt + 0)
y(x,0) = A.sen (kx + 0)
aplicando lo del sen (A+B) quedaría:
A.sen(kx).cos(0) + A.cos(kx).sen(0)

quedan de la misma forma, ahora sumo [1] y [2]
y = sen (kx) (A.cos 0 + A.cos 0) + cos (kx) (A.sen 0 + A.sen 0)
mi ecuación era:
y(x,0) = 0.05(3^1/2 · sen 2x + cos 2x)

¿Como hago la igualación de coeficientes? es la parte que he puesto en negrita?

Será que te has olvidado las deltas

[mad_mardigan]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Será que te has olvidado las deltas

Las deltas las he puesto como "0" (número cero) porque no se poner el simbolo delta.

Alguna otra idea de como continuar ... estoy por abandonar.

[aLFRe]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Pero si ya lo tienes...
Vamos a ver:
$y_1(x,t)= A \cos ( kx -\omega\,+\delta_1)$
$y_1(x,t)= A (\cos ( kx + \delta_1) \cos (\omega\,t)<br /> + \sin ( kx + \delta_1) \sin(\omega\,t))$

$y_2(x,t)= B \cos ( kx -\omega\,+\delta_2)$
$y_2(x,t)= B (\cos ( kx + \delta_2) \cos (\omega\,t)<br /> + \sin ( kx + \delta_2) \sin(\omega\,t))$

$y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)= <br /> A (\cos ( kx + \delta_1) \cos (\omega\,t)+ \sin ( kx + \delta_1) \sin(\omega\,t))+<br /> B (\cos ( kx + \delta_2) \cos (\omega\,t) + \sin ( kx + \delta_2) \sin(\omega\,t))$

Por otra parte
$v_y(x,t)=\frac{d\,y}{d\,t}=\frac{d\,y_1}{d\,t}+\frac{d\,y_2}{d\,t}=<br /> A \omega (\cos( kx + \delta_1) ( -\sin (\omega\,t))+ \sin ( kx + \delta_1) \cos (\omega\,t))+<br /> B \omega (\cos ( kx + \delta_2) ( -\sin (\omega\,t)) + \sin ( kx + \delta_2) \cos (\omega\,t))$

Ahora particularizamos para t= 0 que son los datos que tenemos
la parte temporal será 0 si la funcion era un seno y 1 si era un coseno.

$y(x,0)=A (\cos ( kx + \delta_1) )+ B (\cos ( kx + \delta_2)$

$v_y(x,0)=A \omega ( \sin ( kx + \delta_1) + B \omega (\sin ( kx + \delta_2) )$

Y creo que si no me he equivocado todo es igualar.
Saludos.

[pod]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

cojo otra ecuación para sumar:
[2]y(x,t) = A.sen (kx-wt + 0)
y(x,0) = A.sen (kx + 0)
aplicando lo del sen (A+B) quedaría:
A.sen(kx).cos(0) + A.cos(kx).sen(0)

Las dos ondas no tienen por qué tener la misma amplitud, así que usa otra letra, por ejemplo B.

y = sen (kx) (A.cos 0 + A.cos 0) + cos (kx) (A.sen 0 + A.sen 0)
mi ecuación era:
y(x,0) = 0.05(3^1/2 · sen 2x + cos 2x)

¿Como hago la igualación de coeficientes? es la parte que he puesto en negrita?

Cuando lo hagas con las amplitudes diferentes, te quedará algo similar a

$$y = (A \cos\delta_1 + B \cos\delta_2) \sin(kx) + (A \sin\delta_1 + B \sin\delta_2) \cos(kx)\ .$$

Al comparar, está claro que k=2. Luego, los coeficientes deberán ser iguales:

$$\begin{aligned}<br /> A \cos\delta_1 + B \cos\delta_2 & = 0.05 \sqrt{3}\ , \\<br /> A \sin\delta_1 + B \sin\delta_2 & = 0.05 \ .<br /> \end{aligned}$$

Con la ecuación de la velocidad harás lo mismo, y tendrás cuatro ecuaciones en total para cuatro incógnitas: A, B, $\delta_1$ y $\delta_2$.

[mad_mardigan]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Muchas gracias a Pod y a AlfrE por la ayuda. Da gusto ver como las personas ayudan a otras desinteresadamente.

Gracias a vosotros he conseguido resolver el problema.

Una vez más gracias.

[pod]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

Muchas gracias a Pod y a AlfrE por la ayuda. Da gusto ver como las personas ayudan a otras desinteresadamente.

Gracias a vosotros he conseguido resolver el problema.

Una vez más gracias.

¿Desinteresadamente? ¿Nadie te ha contado lo de bajarte los pantalones ahora que ya te ha salido?

[mad_mardigan]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

je je je. Eso no está en las normas del foro!!!

[aLFRe]

Re: Ondas armónicas. Interferencias

¿Desinteresadamente? ¿Nadie te ha contado lo de bajarte los pantalones ahora que ya te ha salido?

A lo que se refiere el moderador general con su conocida sabiduría
que tan socarronamente expone,
es a que si puedes responder tú a la pregunta de otro usuario
- aunque te equivoques... aquí el que esto escribe falla más que una escopeta de feria -
o contarnos algo de ciencia en los diccionarios...
o donde te de la gana
pues es la forma en que esto funciona...
como una cadena de favores, pshé... más o menos.

Todo esto sin abusar claro... no es cuestión de alterar tu ritmo de estudios
para estar todo el día enganchado a internet y al foro este.

Saludos.