Secundaria MRU

[Larry S]

Hola :
He estado prácticando, pero me trabé con este problema. Haber si me hechan una mano por favor.

Un bote navega con rapidez de $3m/s$ respecto a las aguas de un río, que a su vez se desplaza a razón de $6m/s$. ¿Qué ángulo debe mantener el bote respecto a la corriente para que ésta lo arrastre lo menos posible?

A)15°
B)30°
C)45°
D)60°
E)50°

Lo único que pude hacer fue esto:

La rapidez del bote: $v_b$
La rapidez del río: $v_r$
Del dato:
$v_{b/r}=3m/s=v_b - v_r$
entonces se conoce la velocidad del bote:
$v_b=9m/s$

Para que el río lo arrastre lo menos posible... a me planté.

Gracias de antemano por su ayuda.

Saludos.

[Digglet]

Re: MRU

me surge una duda y es si el bote tiene la capacidad de impulsarse solo (un motor o algo asi), ya que de no ser asi
tu velocidad esta mala, porque el movimiento del bote estaria causado por la corriente.

eso seria

saludos

[pod]

Re: MRU

Supongo que el barco lo que quiere hacer es cruzar el río, no navegar a lo largo, por que sino no tiene sentido. Bueno, supongamos que la velocidad de la corriente es (3, 0) en las unidades apropiadas. Entonces, si la velocidad del barco forma un ángulo $\alpha$ con respecto de la corriente, entonces su velocidad en el sistema de referencia del agua será $(3\cos\alpha,\ 3\sin\alpha)$, con lo que la velocidad total vista desde la orilla es la suma,

$$\vec v = (3 \cos\alpha + 6,\ 3\sin\alpha) \ .$$

Lo que queremos es que este vector sea lo más horizontal posible, i.e, que apunte lo más posible a la otra orilla. El ángulo, $\beta$, de este vector respecto la corriente viene dado por

$$\mathrm{tg} \beta = \dfrac{3\sin\alpha}{3\cos\alpha+6}\ .$$

Lo que queremos es que $\beta$ sea lo más próxima a $\pi/2$ posible. Como $\mathrm{tg}\pi/2 \to\infty$, eso significa que la tangente sea lo más grande posible, así que basta con maximizarla, i.e, derivar respecto $\alpha$

$$\dfrac{\dd}{\dd\alpha} \mathrm{tg}\beta = \frac{2 \cos \alpha+1}{(\cos \alpha+2)^2} = 0\ .$$

Esta ecuación se soluciona con $\cos\alpha = -1/2$, lo cual da $\alpha = 2\pi/3\mathrm{rad} = 120^o$.

Esta solución no está entre las posibles. No hay que alarmarse, simplemente es que han cogido el ángulo del revés (cosa algo ilógica, pero bueno). La solución que buscas es $180^o - 120^o = 60^o$.