Problema bonito de cinemática

[[Beto]]

Re: Problema bonito de cinemática

ups ... si me falto considerar eso .... ya se me hacia algo rara mi respuesta.

[pod]

Re: Problema bonito de cinemática

Bueno aunque ya ha habido respuestas al tema, me permitiré poner mi método de solución

La trayectoria paramétrica es:

$x = v_0 t \ ,$
$y = R - \frac12 g t^2 \ .$

Podemos escribir la trayectoria simplemente resolviendo el sistema para eliminar el tiempo,

$y = R - \frac{g}{2 v_0^2} x^2 \ .$

Si la pelota choca contra la piedra, entonces las coordenadas (x, y) de la colisión cumplirán la ecuación de una circunferencia (que es la intersección de la superfície esférica con el plano del movimiento),

$x^2 + y^2 = R^2 \ .$

Substituyendo en la ecuación anterior,

$y = R - \frac{g}{2 v_0^2} \left( R^2 - y^2 \right) \ .$

Lo que tenemos es una ecuación de segundo grado que nos da la coordenada y de la posición donde la pelota colisionaría con la piedra, en función de la velocidad inicial. Naturalmente, y = R siempre es solución (el punto de partida), lo que nos permite simplificar la ecuación:

$y - R = - \frac{g}{2 v_0^2} (R-y)(R+y) \ ,$

con lo cual

$1 = \frac{g}{2 v_0^2} (R+y) \ ,$

lo que nos da

$y = \frac{2 v_0^2}{g} - R \ .$

Naturalmente, la ecuación de la circunferencia que hemos usado tan sólo es válida para $-R \le y \le R$. Lo cual, observando la forma de esta última ecuación, nos da la condición de que no se produzca el choque

$\frac{2 v_0^2}{g} - R > R \ ,$

lo que nos da

$v_0 > \sqrt{ R \, g } \ .$


Observamos que hay un factor 2 (en la raíz) que discrepa de los resultados anteriores. Lo que ocurre es que hay un error en el modelo que utilizamos; estamos suponiendo que la pelota es puntual (tamaño cero) y que se sitúa exactamente sobre la superficie de la piedra. Es decir, en virtud de nuestras fórmulas, ¡la pelota puede ir tanto por dentro como por fuera de la piedra!. Veamos el gráfico:



El rojo corresponde a la superfície de la piedra. La linea verde corresponde al lanzamiento con $v_0^2 = R g / 2$, el resultado de los mensajes anteriores. Como vemos, va por dentro de la piedra. La trayectoria azul, en cambio, es la calculada por mi. Como vemos, tan solo roza la superficie al principio.

[[Beto]]

Re: Problema bonito de cinemática

Lo primero que se me ocurre es lo siguiente:

Para que no toque a la piedra esférica la pelota tiene que desplazarse una distancia $R+x$ horizontalmente y $R$ verticalmente, partiendo con una velocidad inicial $v_0$ horizontal que es lo que nos interesa calcular.

En el eje horizontal se tendrá que:

$t=\frac{R+x}{v_0}$ ........... (1)

En el eje vertical:

$t=\sqrt{\frac{2R}{g}}$ ........... (2)

De (1) y (2) se tobtiene que:

$v_0=\sqrt{\frac{g}{2R}}(R+x)$

En esta última ecuación se pude observar que la velocidad inicial $v_0$ es mínima si $x=0$, entonces:

$v_0(min)=\sqrt{\frac{gR}{2}}$

mmm ... creo que se me adelantaron en responder bueno de todos modos ojalá esto también sirva

Saludos.

[balik]

Re: Problema bonito de cinemática

Este es un problema de tiro de proyectiles .
Fijate que la trayectoria de la pelota sera una parabola ( si despreciamos la recistencia del aire y que el radio r de la esfera es pequeño en comparacion con el radio de al tierra ,de modo que podemos suponer la g constante ), y tiene que recorrer una distancia tanto en el eje vertical como en el horizontal mayor que r ( sieendo r el radio de la esfera ) para que no cohque con ningun punto de la esfera .
Teniendo estas cosas en mente podemos usar la ecuacion de la trayectoria =

Y= (tgø)x - gx²/2vi²cos²ø
como el tiro es horizontal ,el angulo de lanzamiento con la horizontal es cero , de modo que la ecuacion se no s reduce a
Y=- gx²/2vi²
Sabemos que el alcance debe ser mayor que r ,para que no choque con la esfera pero la tomaremos como r ( asi al final tendremos una desigualdad )
y y= -r ( recuerda que nuestro origen de coordenadas esta en la parte superior de la esfera .)

-r=- gr²/2vi²

r= gr²/2vi² y despejando tenemos =


vi=(gr/2)^½
pero este en realidad seria la v para que coche con la punta del del la esquina del medio , ( dibuja lo para que te des cuenta ) asi que decimos que la v minima sera =

vi>(gr/2)^½

[Metaleer]

Veamos, aquí va el enunciado:

En la parte más alta de una grande piedra en forma de esfera, hay un muchacho que lanza horizontalmente una pelota con una patada... determinar la velocidad inicial mínima que hay comunicar a la pelota para que no caiga sobre algún punto de la piedra sobre la que está de pie el muchacho.