Rampa movil

[[Beto]]

En este post quisiera plantear el siguiente problema que se muestra en la figura:

Como se puede apresiar se suelta una esfera de masa $m$ desde un altura $d$, el problema consiste en analizar el comportamiento de la masa $m$ y de la rampa movil de masa $M$ cuando la pequeña esferita pase sobre la rampa, es decir describir como seria el movimiento tanto de la esferita y de la rampa antes durante y despues de que la esferita interactue con la rampa.

Saludos.

[[Beto]]

Re: Rampa movil

Hola, siguiendo con mi mismo tema ... se me han ocurrido dos cosas:

1. Que la rampa movil se moverá junto con la esfera, pero se conservara la posición del centro de masa del sitema (masa "m" y "M").
2. También se me ocurre considerar que la rampa movil empezará a moverse por acción de la fuerza normal entre "m" y "M", de ser asi como analizaria el movimiento pues no tengo la forma en que varia esta fuerza normal.(creo que este camino me complica un poco mas las cosas)

¿Alguien mas me podria dar otra idea de como estudiar como se comporta este sistema?

[pod]

Re: Rampa movil

La posición del centro de masas no se conservará en este problema, ya que el centro de masas ya empieza moviéndose. No obstante, si que se conservará la velocidad del centro de masas (o lo que es lo mismo, el momento total). Puedes probar por ahí.

[[Beto]]

Re: Rampa movil

La posición del centro de masas no se conservará en este problema, ya que el centro de masas ya empieza moviéndose. No obstante, si que se conservará la velocidad del centro de masas (o lo que es lo mismo, el momento total). Puedes probar por ahí.

Ya lo pensé y creo que antes de que se pongan en contacto la masa "m" y la otra masa "M" el centro de masa tiene una velocidad $v_{\mbox{cm}}=\frac{mv}{M+m}$ donde $v$ es la velocidad que tiene la esferita "m" en la superficie horizontal.

Ahora si mis supociones son correctas la cantidad de movimiento del sistema se debe de conservar, en ese caso al interactuar la masa "M" con la masa "m" el sistema se moveria con una velocidad $v_1=\frac{mv}{M+m}$, que es la misma velocidad del centro de masa pues la cantidad de movimiento tiene que conservarse.

Luego la esferita logrará subir una determinada altura por la superficie de la rampa hasta detenerse (todo depende de la energia cinénica inicial que posea); en el caso de que esa energia sea la necesaria para llegar a la parte alta de la rampa, la pequeña esfera pasará al otro lado.

Pero en este punto es cuando me surgen varias interrogantes:

• Si es que la esfera no logra atravesar la rampa ¿De que forma se sigue moviendo el sistema?
• Si es que la esfera atraviesa la rampa, es logico pensar que la rampa también se seguira moviendo pues la superficie es lisa entonces ¿Cómo calculo la nueva velocidad de la esferita y de a rampa?

Espero que me corrijan si alguno de mis razonamientos estan incorrectos.

[pod]

Re: Rampa movil

Ahora si mis supociones son correctas la cantidad de movimiento del sistema se debe de conservar,

Técnicamente, se conserva únicamente la componente horizontal del momento. La componente vertical varía debido a la fuerza normal del suelo, que es externa al sistema.

• Si es que la esfera no logra atravesar la rampa ¿De que forma se sigue moviendo el sistema?

Pues la bola volverá a bajar por la misma ladera. Mientras lo hace, el peso de la bola seguirá empujando la rampa en la misma dirección, por lo que la bola acabará volviendo atrás y la rampa saldrá a mayor velocidad hacia adelante.

• Si es que la esfera atraviesa la rampa, es logico pensar que la rampa también se seguira moviendo pues la superficie es lisa entonces ¿Cómo calculo la nueva velocidad de la esferita y de a rampa?

Mientras la bola baja por la segunda ladera, el peso de la bola empuja la rampa móvil hacia el otro lado, por lo que tenderá a pararla. Por simetría, parece que la rampa debería quedar parada.

Cuando digo "el peso de la bola empuja la rampa móvil" en una u otra dirección, me refiero a la componente del peso perpendicular a la superfície de la rampa. Con un simple dibujo de fuerzas quedará medianamente claro. Ahora no puedo hacerlo, pero si es necesario lo puedo colgar mañana :P

[[Beto]]

Re: Rampa movil

Técnicamente, se conserva únicamente la componente horizontal del momento. La componente vertical varía debido a la fuerza normal del suelo, que es externa al sistema.

En esta parte tengo una objecion, pues hasta donde tengo entendido la cantidad de movimiento se conserva en el eje horizontal, pero ¿la causa de que no se conserve en el eje vertical no es mas bién el peso y no la componente de la normal que mencionas?

Pues la bola volverá a bajar por la misma ladera. Mientras lo hace, el peso de la bola seguirá empujando la rampa en la misma dirección, por lo que la bola acabará volviendo atrás y la rampa saldrá a mayor velocidad hacia adelante.

¿Cómo calcularia la velocidad con la que sale la rampa despues de que la esfera deciende?

Segun supongo la rampa ganaría velocidad dependiendo de la altura que alcande la esfera.

[pod]

Re: Rampa movil

En esta parte tengo una objecion, pues hasta donde tengo entendido la cantidad de movimiento se conserva en el eje horizontal, pero ¿la causa de que no se conserve en el eje vertical no es mas bién el peso y no la componente de la normal que mencionas?

Poniéndonos técnicos otra vez, no se conserva por que el peso y la normal no se cancelan exactamente, como si pasa cuando la bola rueda en el llano.

¿Cómo calcularia la velocidad con la que sale la rampa despues de que la esfera deciende?

Segun supongo la rampa ganaría velocidad dependiendo de la altura que alcande la esfera.

Habría que analizar el problema detalladamente (i.e, hacer los cálculos). Aunque por algún motivo, me parece lógico que vuelva al doble de velocidad del que llevaba inicialmente (será verdad?).

[[Beto]]

Re: Rampa movil

Poniéndonos técnicos otra vez, no se conserva por que el peso y la normal no se cancelan exactamente, como si pasa cuando la bola rueda en el llano.

Tienes razon, yo estaba pensando en la reaccion entre la bola y la rampa, ya se que en este caso se nos refiere a la reaccion del piso hacia la rampa (que si es una fuerza externa), por eso te mencioné que la reacción no era la causa de la conservacion de la cantidad de movimiento, lo siento estaba algo distraido

[pod]

Re: Rampa movil

Lo que dije de que al volver atrás la bola saldrá al doble de velocidad no es posible, ya que violaría la conservación de la energía. De hecho, como se conserva el momento (el vertical también, dado que en el estado final ya no hay movimiento en esa dirección), y todas las fuerzas son conservativas, podemos estudiar el estado inicial y final como si de un choque se tratara (Otro ejemplo de lo que decíamos en otro hilo, que las formulas de colisiones no necesitan saber lo que ocurre entre medias).

[[Beto]]

Re: Rampa movil

Lo que dije de que al volver atrás la bola saldrá al doble de velocidad no es posible, ya que violaría la conservación de la energía. De hecho, como se conserva el momento (el vertical también, dado que en el estado final ya no hay movimiento en esa dirección), y todas las fuerzas son conservativas, podemos estudiar el estado inicial y final como si de un choque se tratara (Otro ejemplo de lo que decíamos en otro hilo, que las formulas de colisiones no necesitan saber lo que ocurre entre medias).

Mmmm ... si estoy de acuerdo en considerar como un simple choque y no considerar todo el tiempo que esta subiendo y bajando por la rampa.

Entonces el movimiento seria más o menos de la sieguiente forma :

• Si no logra sobrepasar la rampa se lo considera como un choque elástico y de esta forma se calcula la velocidad final de la rampa.
• Ahora solo me falta pensar en que sucedería si es que la esfera logra pasar la parte mas alta de la rampa, tu dijiste que mientras decienda la esfera esta empujeria a la rampa hacia atrás hasta que se detenga, en este punto por una parte la intuición también me dice que deberia suceder eso aunque me faltaria hacer algún calculo para comprobarlo

[aLFRe]

Re: Rampa movil

Por si va a enfocar el problema como una colisión.. a ver si esto le ayuda.

Todo esto obviando que la esfera y el plano son sólidos rígidos,
porque si lo fuesen hay que mirar otras cosas.
La transferencia de momento entre la esfera y el plano requiere que haya contacto
entre ambas como habéis apuntado.

La esfera de masa m desde que incide en la rampa va perdiendo cantidad de movimiento
que gana el plano
sujeto a la ley de conservación de la cantidad de movimiento horizontal
del sistema que se debe de cumplir en cada instante,
puesto que no hay fuerzas externas al sistema en esa dirección.

CASO 1 .- La bola no sobrepasa la cima del plano.
En el primer trayecto, la subida de la rampa,
si el plano se desplaza con una velocidad horizontal V_x
que ha adquirido gracias a la interacción con la esfera,
la esfera ascenderá por el plano
siempre que su velocidad horizontal sea superior y tenga velocidad vertical.

Cuando la velocidad a lo largo del plano sea cero,
yo diría que este punto debe de coincidir con el instante en que plano y
esfera tengan la misma velocidad horizontal,
la esfera invierte su sentido de movimiento a lo largo del plano
( ojo plano y esfera siguen moviéndose en la dirección inicial
pero ahora la esfera tiene velocidad horizontal cada vez menor que la del plano )
por tanto sigue perdiendo cantidad de movimiento que ganará el plano.

CASO 2 .- La bola sobrepasa la cima del plano con velocidad superior a la del plano.
Hay que tener en cuenta que si la esfera alcanza la cima del plano con velocidad
horizontal superior a la de este, abandonará el plano y en ese momento las velocidades
horizontales en ausencia de rozamiento se mantendrán constantes.
La bola sale despedida con velocidad en dirección $\alpha$
siendo $\alpha$ el ángulo del plano inclinado.

CASO 3 .- La bola alcanza la cima del plano con velocidad igual a la del plano
y rueda por la segunda ladera.

Se pueden hacer los cálculos usando los resultados de los choques elásticos.
Con una matización que luego apuntaré.
Para estos casos choques el resultado general ( mayúsculas para las magnitudes
referidas a Sistema CDM y ' tras el choque) es
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
y siendo $A=\frac{M}{m}$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
- están sacadas del vol.1 del Física de Alonso-Finn,
si no las tiene por ahí le comento como se pueden sacar -

De los tres casos posibles,
CASO 1 es $\phi=\pi$ en este caso el cociente
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
con lo cual puesto que el choque es elástico,
es fácil obtener la velocidad final del plano

CASO 3 es $\phi=0$ en este caso el cociente
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
y el plano debe de quedar en reposo.

CASO 2 es complicado porque habría que relacionar $\phi$ con $\alpha$
Además cuando la bola abandona el bloque en la dirección $\alpha$
describe una parábola mientras el bloque continúa moviéndose con la velocidad
que tuviese en ese momento.

Para delimitar los tres casos se me ha ocurrido lo siguiente:
es claro que
$E_{k,0}=mgd$
para que la bola alcance la cima en reposo relativo con el plano
en ese instante $v'_x=u'_x$
siendo v la velocidad de la bola, en este caso alcanza la cima en reposo con respecto
al bloque y u la del plano.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
y un balance de energías en ese momento:
$mgd=mgH+\frac{1}{2}mv^{'2}_x+\frac{1}{2}mu^{'2}_x$
y me sale la condición para que se sobrepase la cima:
$\frac{M+m}{M}=\frac{d}{H}$
eso si no me he equivocado

Re-edición: Tenga cuidado, que me he equivocado en lo siguiente:
No es lícito usar la expresión de Alonso-Finn en el caso 2.
El sistema esfera plano no es aislado como ya se ha apuntado en el hilo.
Está sometido a las fuerzas externas pesos de la esfera y plano
y reacción del suelo sobre el plano.
El único efecto sería alterar la componente vertical de la cantidad de movimiento del sistema.
En los casos 1 y 3 en los que la esfera sobrepasa el plano y vuelve...
sus velocidades están dirigidas según la horizontal,
por lo cual está fuerza no ha producido un efecto en promedio
y puesto que se conserva la energía no hay problema.
Pero si la esfera alcanza la cima del plano y sale despedida...
ahora si hay una componente vertical.
El CDM en ese momento tiene velocidad con componentes horizontal y vertical.
Este caso hay que analizarlo con más cuidado.

Un saludo y perdone la confusión


Un saludo.

[[Beto]]

Re: Rampa movil

Gracias por la ayuda .