Uno de V=cte

[alefriz]

Aqui va el enunciado:

Por una calle de anchura "c" transita una fila de coches distanciados entre ellos una distancia "a". Los coches tienen una longitud "b" y circulan a una velocidad constante "V". Un peatón quiere cruzar la calle. ¿Cuál es la velocidad mínima que debe llevar el peatón para cruzar sin ser atropellado? (No necesariamente ha de cruzar perpendicularmente).

Por cierto, se me olvidaba la anchura de los coches, que es "d". Evidentemente d<c.

[[Beto]]

Re: Uno de V=cte

Hola,

Para este problema como te piden que calcules la velocidad mínima que se necesita para que el automovil cruce, tienes que ponerte en el caso crítico es decir cuando la persona cruce a las justas la via y no sea atropellado.

Supongamos ahora que las velocidad de la persona respecto de los autos es $v'=v'_x+v_y$, donde $v'_x=v_{\mbox{persona}}-v_{\mbox{auto}}$, si haces un gráfico y nalizas la situción te darás cuanta que:

$v'_x=\frac{a+\frac{(c-d)a}{d}}{t}$

$v_y=\frac{c}{t}$

Luego de esto tendrás que utilizar el dato de los velocidad $V$ que traen los autos para eliminar el tiempo $t$ de las ecuaciones anteriores (eso te lo dejo para que tu lo hagas).

Luego de eso te resultará sencillo encontrar $v_x$ y $v_y$, y la velocidad mínima (en este caso debe de entenderse como rapidez mínima) la calcularás según $|v_{\mbox{min}}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

Saludos.

[pod]

Re: Uno de V=cte

Falta por especificar si la distancia $a$ se especifica entre el final de un coche y el principio del siguiente, o entre los morros de dos coches consecutivos. Yo seguiré la primera prescripción, si se desea seguir la segunda hay que hacer la sustitución $a \to a-b$ en mis cálculos.

El caso límite se dará cuando el peatón salga justo cuando acabe de pasar el coche anterior, y acabe de cruzar justo cuando llegue el siguiente coche, es decir, en el siguiente diagrama:

el peatón coincidirá tanto con los puntos 1 y 2. Si tomamos como el origen de coordenadas el punto de salida (que coincide con 1, para $t = 0$) la ecuación del movimiento de 2 es

$x = d \ , \qquad y = -a + v t \ .$

Ahora pongamos la ecuación del movimiento del peatón. Supongamos que su trayectoria forma un ángulo $\alpha$ con la perpendicular;

$x = u \cos\alpha \ t \ , \qquad y = u \sin\alpha \ t \ ,$

donde $u$ es el módulo de la velocidad, que es lo que nos preguntan.

Ambas trayectorias deben coincidir, lo que nos da dos ecuaciones,

$d = u \cos\alpha \ t \ , \qquad -a + v t = u \sin\alpha \ t \ .$

Podemos saber el tiempo a partir de la primera,

$\displaystyle t = \frac{d}{u \cos\alpha} \ ,$

y utilizarlo en la segunda

$\displaystyle a = \frac{d}{u \cos\alpha} \big( v - u \sin\alpha \big) \ ,$

que reordenando queda

$\displaystyle u = \frac{v d}{a \cos\alpha + d \sin\alpha} \ .$

Quizá nos conviene escribirlo todo en función de la tangente,

$\displaystyle u = \frac{v d}{ \cos\alpha \big( a + d \mathrm{tg}\alpha \big)} = \frac{v b \sqrt{1+\mathrm{tg}^2\alpha}}{a + d \mathrm{tg}\alpha} \ .$

Esta es la velocidad mínima que debe tener el peatón si sale con el ángulo dado. Para ver cual es la velocidad mínima de forma absoluta hay que optimizar esta función; lo mejor es utilizar la primera forma para hacer la derivada,

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\alpha} = \frac{v d \big( d \cos\alpha - a \sin\alpha \big)}{\big( a \cos\alpha + d \sin\alpha \big)^2} \ ,$

lo cual es cero si:

$\mathrm{tg}\alpha = \frac{d}{a} \ ,$

lo cual en la ecuación anterior nos da el resultado final (salvo error u omisión, como se suele decir),

$\displaystyle u = \frac{v d \sqrt{a^2+d^2}}{a^2 + d^2 } = \frac{v d}{\sqrt{a^2+d^2}} = \frac{v}{\sqrt{1+\big(a/d\big)^2}} \ .$