Secundaria El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

[joa47]

Buenas,

El año pasado en mi escuela estuvimos estudiando con mi profesor, entre otras cosas, tiro oblicuo. Sin entrar en detalle, y considerando que el eje x se utiliza para medir la distancia que recorre un objeto y el eje y para medir la altura, ¿Son realmente confiables a la hora de experimentar? Dado que la tierra es curva, y el eje x una recta, ¿No es erroneo utilizar al eje x como la distancia que recorre un objeto?

Mi otra pregunta era sobre las dimensiones, ya que los ejes cartesianos son de 2 dimensiones, ¿Cómo es posible que se pueda entonces realizar ejercicios como "Una bala de cañon es lanza con un angulo... etc", si supuestamente es una esfera, es decir, un objeto tridimensional?

Gracias de antemano

[[Beto]]

Re: El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

Hola, en realidad es una buena aproximación la forma en que se resuelve ese tipo de ejercicios, ya que al ser el radio de la tierra muy grande en comparación con la distancia que recorre el proyectil, esa distancia es practimente una recta. Más adelante cuando profundices un poco mas en el estudio de ese tipo de movimiento verás que no solamente eso influye, si no también el rozamiento con el aire, variación de la gravedad con la altura, fuerza de coriolis ... y el movimiento es bastante complejo, pero en primera aproximación esta bien resolverlo así.

[Marce_]

Re: El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

Mi otra pregunta era sobre las dimensiones, ya que los ejes cartesianos son de 2 dimensiones, ¿Cómo es posible que se pueda entonces realizar ejercicios como "Una bala de cañon es lanza con un angulo... etc", si supuestamente es una esfera, es decir, un objeto tridimensional?

Gracias de antemano

Es una pregunta más que interesante. Lo que sucede es que cuando se estudia el tema por primera vez, se modeliza a la bala como una particula. A esta particula se la puede tratar matemáticamente como un punto que pertenece a una recta, o bien, que pertenece a un plano (según el tipo de movimiento que estés estudiando).

Intentá imaginarte una hoja de papel dispuesta verticalmente. El papel representa el plano XY y la particula es un punto del plano. Dentro de todas las simplificaciones que te nombró N30F3B0, se supone también que no existe ninguna fuerza que sea capaz de "sacarlo" del plano (papel), haciendo que tenga que intervenir otra dimensión.

Por algo hay que empezar , y como te habrás dado cuenta, la simplificación en la modelización del movimiento no implica que se puedan plantear ejercicios y/o situaciones tan complejas como uno desee.

Un abrazo.-

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Re: El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

En realidad no hay ningún problema con utilizar los ejes cartesianos para tiros de alcance tan grande como una quiera, la curvatura de la tierra no supone ningún problema insalvable. Sólo hay que tener en cuenta:

1) Como la tierra es curva, la condición "llegar a tierra" ya no es y = 0, sino la siguiente:

$$x^2+(y+R)^2 = R^2 \ ,$$

donde R es el radio de la tierra. Se puede demostrar que para x muy pequeño, en efecto esto se reduce a y = 0 (la aproximación a la que estás acostumbrado).

2) La gravedad ya no es más paralela al eje OY. Ahora será un vector que apunte al centro de la tierra, y cuyo módulo sea g,

$$\vec g = - g \frac{ (x,\ y+R)}{\sqrt{x^2+(y+R)^2}}\ .$$

De nuevo, se puede demostrar que para x pequeño se obtiene el valor usual $\vec g = (0,\ -g)$.

3) Si la altitud del tiro también es muy grande, entonces hay que tener en cuenta que la gravedad ya no tiene módulo constante e igual a 9.8N/k, sinó que depende de la distancia al centro de la tierra. En este caso, el vector gravedad completo es

$$\vec g = - GM \frac{ (x,\ y+R)}{\big( x^2+(y+R)^2 \big)^{3/2} }\ ,$$

donde G es la constante de Cavendish de la gravitación universal y M la masa de la tierra. Se puede demostrar que para alturas pequeñas se reduce al resultado del apartado dos. En este caso, la altura se se calcula tal que

$$h(x,y) = \sqrt{x^2 + (y+R)^2} - R$$

.


Al final, las ecuaciones pueden ser bastante complicadas. Por eso, cuando se tienen que hacer este tipo de cálculos se utilizan otras coordenadas, las esféricas. Por supuesto, el resultado son órbitas elípticas, como Keples ya sabía. Pero se hace por comodidad de cálculo, no por que los ejes cartesianos sean malas personas.

[Marce_]

Re: El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

Alguien podría decirme donde puedo encontrar esta demostración?. Buscando en la net, al menos por ahora, no encontré nada.

Gracias.

Un abrazo.-

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Re: El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

Alguien podría decirme donde puedo encontrar esta demostración?. Buscando en la net, al menos por ahora, no encontré nada.

Gracias.

Un abrazo.-

¿Qué demostración exactamente?

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Re: El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

Como la tierra es curva, la condición "llegar a tierra" ya no es y = 0, sino la siguiente:

$$x^2+(y+R)^2 = R^2 \ ,$$

donde R es el radio de la tierra. Se puede demostrar que para x muy pequeño, en efecto esto se reduce a y = 0 (la aproximación a la que estás acostumbrado).

Ésta por ahora. Estaba pensando en una recta secante cuya distancia entre ambos puntos sea una fracción del díametro de la tierra, e intentar demostrar que si la distancia entre los puntos de la recta secante es mucho menor a D, entonces el arco recorrido y esa distancia son practicamente iguales.

El tema es que no estoy muy inspirado y no me parece que sea un buen enfoque.

Un abrazo.-

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Re: El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

Ésta por ahora. Estaba pensando en una recta secante cuya distancia entre ambos puntos sea una fracción del díametro de la tierra, e intentar demostrar que si la distancia entre los puntos de la recta secante es mucho menor a D, entonces el arco recorrido y esa distancia son practicamente iguales.

El tema es que no estoy muy inspirado y no me parece que sea un buen enfoque.

Un abrazo.-

Es una circunferencia de radio R y con centro en (0, -R). Si estamos acostumbrados a tomar (0, 0) como el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento, el centro de la tierra está una distancia -R por debajo, ¿no?

[Marce_]

Re: El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

Si era una pista pod, no la capté en lo más mínimo eh jjajaj. Entiendo el hecho de "bajar" la circunferencia para que la condición de llegada sea justamente pertenecer a ella, pero es realmente necesario trabajar con la curva trasladada para hacer la demostración?

Llegué a ésto. Es un poco bananero y el resultado es bastante obvio pero la verdad es que nunca me había puesto a pensar en la influencia de la curvatura de la tierra. Debe haber una manera más elegante, pero bueno..., lo tendré que masticar un poco más.


Sea $\displaystyle S$ el arco recorrido, se podría expresar el mismo en función del radio de la tierra:

$\displaystyle S = nR$ (1)

También tenemos que:

$\displaystyle S = \theta R$ (2)

De (1) y (2):

$\displaystyle n = \theta$

Si para unir ambos puntos, utilizo una recta, entonces:

$\displaystyle x = R\sin{\theta}$

$\displaystyle \Rightarrow x = R\sin{n}$

Entonces, para que $\displaystyle x$ sea igual a $\displaystyle S$, necesito que:

$\displaystyle \boxed{ \sin{n} \approx n}$

Si suponemos que el valor de $\displaystyle S$ es de 10km, $\displaystyle S - x = 4mm$

Un abrazo.-

[pod]

Re: El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

Si era una pista pod, no la capté en lo más mínimo eh jjajaj. Entiendo el hecho de "bajar" la circunferencia para que la condición de llegada sea justamente pertenecer a ella, pero es realmente necesario trabajar con la curva trasladada para hacer la demostración?

Bueno, la pregunta era sobre como utilizar los ejes cartesianos de toda la vida en un tiro general teniendo en cuenta la curvatura de la tierra. Los ejes cartesianos de toda la vida tienen el punto (0, 0) sobre la superficie de la tierra, así que eso es lo que hice.

Debe haber una manera más elegante, pero bueno..., lo tendré que masticar un poco más.

La forma elegante de hacerlo es utilizar los mismos principios que se utilizan en el cálculo de órbitas. De hecho, un tiro parabólico no es más que eso, una órbita que al final se acaba estrellando contra la superficie. Como todos sabemos, las órbitas son elípticas, así que en realidad tendríamos que hablar de tiro elíptico. Lo que pasa es que estando muy cerca del vértice (el apogeo de la órbita), confundir la elipse por una parábola es una muy buena aproximación.

Sea $\displaystyle S$ el arco recorrido, se podría expresar el mismo en función del radio de la tierra:

$\displaystyle S = nR$ (1)

También tenemos que:

$\displaystyle S = \theta R$ (2)

No acabo de entender lo que pretendes hacer. ¿Qué son $\theta$ y n?

El problema de la relación entre "arco" y "radio" es que sólo sirve para circunferencias. La tierra sí es una circunferencia, pero la trayectoria no lo es, es una elipse.

[Marce_]

Re: El uso de los ejes cartesianos en tiro oblicuo

No acabo de entender lo que pretendes hacer. ¿Qué son $\theta$ y n?

El problema de la relación entre "arco" y "radio" es que sólo sirve para circunferencias. La tierra sí es una circunferencia, pero la trayectoria no lo es, es una elipse.

Intentaba deducir o ponderar cuál era el error al modelizar la trayectoria en la tierra como una línea recta en función de la distancia recorrida, pero sin tener en cuenta el tiro parabólico, solamente en una dimensión. $n$ sería cuán chica es la distancia que recorrí respecto al radio de la tierra.

Voy a intentar generalizarlo y hacerlo como corresponde.

Gracias!.

Un abrazo.-