1r ciclo componentes intrinsecas de la aceleracion

[dama]

Hola a todos tengo un problemilla con este ejercicio, no se hayar las componentes intrinsecas de la aceleracion, me podeis ayudar por favor??

El movimiento de una partícula queda definido por las ecuaciones x=a cos (ω t), y=b sen (ω t), donde a, b y ω son constantes.
Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración

Muchisimas gracias

[arreldepi]

Re: componentes intrinsecas de la aceleracion

Hola a todos tengo un problemilla con este ejercicio, no se hayar las componentes intrinsecas de la aceleracion, me podeis ayudar por favor??

El movimiento de una partícula queda definido por las ecuaciones x=a cos (ω t), y=b sen (ω t), donde a, b y ω son constantes.
Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración

Muchisimas gracias

Hola, aunque el movimiento se trate de un armónico, puedes encontrar las componentes de mismo modo:

$a_t = \dfrac{\dd v}{\dd t}$

Entonces:
1. Bueno, yo lo primero que haría sería escribir la ecuación en forma de vector:

$\vec{r}= a\cos(\omega t) \vec{i} + b\sin(\omega t) \vec{j}$

2. Derivamos la ecuación del movimiento para encontrar la de la velocidad:

$\vec{v} = \dfrac{\dd \vec{r}}{\dd t} = -a\omega\sin(\omega t)\vec{i} + b\omega\cos(\omega t)\vec{j}$

3. Ahora, hacer el módulo de la velocidad.

$v = \sqrt{[a\omega\sin(\omega t)]^2 + [ b\omega\cos(\omega t)]^2}$

4. Por último, derivar el módulo de la velocidad.

$a_t = \dfrac{\dd v}{\dd t} =\boxed{ \dfrac{a\omega^2\cos(\omega t)-b\omega^2\sin(\omega t)}{\sqrt{[a\omega\sin(\omega t)]^2 + [ b\omega\cos(\omega t)]^2}}}$

Un saludo!

[Metaleer]

Re: componentes intrinsecas de la aceleracion

Para la aceleración normal, se puede hacer lo siguiente:

$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a_n},$

donde $\displaystyle \vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ y $\vec{a}_t = a_t \hat{\tau}$, con $\hat{\tau}$ un vector unitario tangente a la trayectoria, es decir

$\displaystyle \hat{\tau} = \frac{\vec{v}}{v},$

de donde ya puedes despejar $\vec{a_n}$.

$\vec{a_n} = \vec{a} - \vec{a}_t$

Saludos.

[pod]

Re: componentes intrinsecas de la aceleracion

Hola, aunque el movimiento se trate de un armónico,

No es armónico, es elíptico

Para la aceleración normal, se puede hacer lo siguiente:
(...)

Otra forma de hacerlo es recordar la definición,

$$\vec a_n = v\ \frac{\dd}{\dd t} \left( \frac{\vec v}{v} \right) \ .$$

No hay que aprendérselo de memoria. Viene de descomponer la velocidad en módulo y vector unitario,

$$\vec v = v \, \frac{\vec v}{v}\ .$$

Derivando,

$$\vec a = \frac{\dd v}{\dd t} \frac{\vec v}{v} + v\ \frac{\dd}{\dd t} \left( \frac{\vec v}{v} \right)\ .$$

El primer término (la derivada del módulo) es la aceleración tangencial tal y como la calculó arreldepi; el segundo es la aceleración normal tal y como la he calculado yo (que naturalmente dará lo mismo que ha calculado metaleer).


Y aún otro método, quizá incluso más sencillo, para saber la aceleración tangencial/normal consiste en encontrar la aceleración (vector) y usar el producto escalar/vectorial para seleccionar la componente paralela/perpendicular,

$$a_n = \frac{\vec a \cdot \vec v}{v}\ , \qquad a_t = \frac{|\vec a \times \vec v|}{v}\ .$$