Otras carreras Problema cuerda tensa

[Joey]

A ver si alguien me ayuda a resolverlo, porque no se por donde meterle mano. Gracias.

[pod]

Re: Problema cuerda tensa

Al mover N una distancia $\ell$, se incrementará la distancia MN (y NC, que será la misma), según el teorema de Pitagoras,

$$d(M,N) = \sqrt{a^2 + \ell^2}\ .$$

Naturalmente, la distancia MN será mayor a $a$. Como la cuerda es inextensible, esa longitud tiene que venir de la parte horizontal de la cuerda. Por lo tanto, el muelle se tendrá que estirar una distancia

$$x = 2 \Big( d(M,N)-a \Big) = 2 a \left( \sqrt{ 1 + \left( \frac{\ell}{a} \right)^{\!\!2} } - 1 \right) \ .$$

El factor dos viene de tener en cuenta que en el segmento NC pasa lo mismo. Según la ley de Hooke, el muelle proporciona una fuerza proporcional a esa elongación, $F = - k x$. Esa fuerza será igual a la tensión de la cuerda, que tal y como te dice la pista del enunciado determina la velocidad de las ondas,

$$c^2 = \frac{2k}{\mu} \Big( d(M,N) - a \Big) = \frac{2k a}{\mu}\left( \sqrt{ 1 + \left( \frac{\ell}{a} \right)^{\!\!2} } - 1 \right) \ .$$

En el estado fundamental de las ondas estacionaras, sólo habrá un vientre entre los puntos M y N. Por lo tanto, la longitud de onda será igual al doble de la distancia entre ambos puntos, $\lambda = 2 d(M,N)$.

La frecuencia de vibración depende de velocidad y longitud de onda,

$$\nu = \frac{c}{\lambda} = \sqrt{ \frac{k}{2\mu}} \dfrac{ \sqrt{ d(M,N) - a } }{d(M,N)}<br /> = \sqrt{ \frac{k}{2\mu a}}<br /> \dfrac{ \sqrt{ \big(1+(\ell/a)^2\big)^{1/2}-1} }{ \big(1+(\ell/a)^2\big)^{1/2} } \ .<br />$$

Ahora simplemente se trata de buscar el máximo de esta función. Para ello, simplemente derivamos,

$$\partial_\ell \nu = \sqrt{ \frac{k}{2\mu a}} \frac{\ell}{a^2} \frac1{\big(1+(\ell/a)^2\big)^{3/2}} \left( \frac{\sqrt{1+(\ell/a)^2}}{2\sqrt{ \big(1+(\ell/a)^2\big)^{1/2}-1}} - \sqrt{ \big(1+(\ell/a)^2\big)^{1/2}-1}\right) \ .$$

Parece complicado, pero no lo es tanto. Al igualar a cero, todos los factores fuera del paréntesis cancelan, y nos queda la ecuación

$$\frac{\sqrt{1+(\ell/a)^2}}{2\sqrt{ \big(1+(\ell/a)^2\big)^{1/2}-1}} - \sqrt{ \big(1+(\ell/a)^2\big)^{1/2}-1}=0\ .$$

Si multiplicamos por el denominador,

$$\sqrt{1+(\ell/a)^2}- 2 \sqrt{1+(\ell/a)^2} + 2=0\ .$$

Con lo que nos queda

$$\sqrt{1+(\ell/a)^2} = 2 \ .$$

Por último, elevando al cuadrado y aislando tenemos

$$(\ell/a)^2 = 3 \ .$$

Es decir,

$$\boxed{ \ell = \sqrt{3} a \ . }$$

[Joey]

Re: Problema cuerda tensa

Muchas gracias Pod.