Otras carreras Catapulta (2)

[Joey]

Como no te da la masa de nada supongo que no influyen en la demostración. Aún así no tengo claro las fuerzas que intervienen.

[pod]

Re: Catapulta (2)

Todo lo que no te digan, ponle un nombre (por ejemplo, llama M a la masa). Y tan tranquilo.

Las fuerzas que actúan: los diferentes pesos y la fuerza de la "visagra".

[Joey]

Re: Catapulta (2)

Tenemos entonces el peso de la piedra, el peso de la catapulta, la reacción de la catapulta sobre la piedra y la reacción de la piedra sobre la catapulta (que es la misma), y lo que quiero es demostrar que la reacción se anula. ¿no?

¿Me ayudaría trabajar con la conservación de la energía mecánica para obtener la velocidad de la piedra en función de lo que gira la catapulta?

[pod]

Re: Catapulta (2)

Tenemos entonces el peso de la piedra, el peso de la catapulta, la reacción de la catapulta sobre la piedra y la reacción de la piedra sobre la catapulta (que es la misma), y lo que quiero es demostrar que la reacción se anula. ¿no?

¿Me ayudaría trabajar con la conservación de la energía mecánica para obtener la velocidad de la piedra en función de lo que gira la catapulta?

No te olvides de la fuerza del a "bisagra" (si no hubiera, se caería el invento, ¿no?). Aunque si calculas el momento de la fuerza desde ese punto, te la puedes cargar (por que la distancia es cero).

Por lo demás, parece que vas por buen camino.

[Joey]

Re: Catapulta (2)

Me surgen nuevos problemas, como que no se hacia donde va dirigida al fuerza de la visagra, y además. ¿La aceleración es constante?

Te digo donde me quedo atascado Pod.

Llamo $R$ a la distancia de la piedra a la visagra. Por lo que la altura $h$ en función del ángulo que gira es, $h = R\sin\theta$

Aplico conservación de energía.

$E_C = E_P$

$0,5mv^2 = mgh$

$v^2 = 2gR\sin\theta$

como $v = \omega R$

$<br /> \omega^2 = \frac {2g}{R} \sin\theta<br />$


Ahora no se seguir, ya que no se en que ejes proyectar las fuerzas. Pienso en el triedro intrínseco, ¿pero como meto ahí el peso de la catapulta y la reacción de la visagra? Tampoco comprendo como es que la normal de la catapulta sobre la piedra va disminuyendo. ¿La aceleración es negativa?

[pod]

Re: Catapulta (2)

No es necesario saber la fuerza de la bisagra. Como es el eje de giro, la distancia es cero, y por lo tanto esa fuerza no crea momento (recuerda que el momento de fuerza es igual a la distancia por la propia fuerza).

Ahora, la conservación de la energía es algo más complicada. Recuerda que la catapulta empieza parada, así que la energía cinética inicial es cero. Sin embargo, el contrapeso de la catapulta sí tiene cierta energía potencial. Digamos que la distancia de ese contrapeso es $r_c$ y su masa $m_c$. Por otra parte, como se ve en la imagen, el cacharro no empieza horizontal, sino con cierto ángulo $\theta_0 < 0$. Fíjate que tomo el ángulo positivo en el sentido de las agujas del reloj, así que el recorrido del proyectil será de $\theta_0$ (negativo, empieza por debajo de la horizontal) hasta $\pi/2$.

Por lo tanto, la energía inicial

$$E_0 = m_p r_p \sin\theta_0 - m_c r_c g \sin\theta_0 \ .$$

El signo negativo es por que el contrapeso está al otro lado de la catapulta.

En un ángulo cualquiera, la energía será

$$E(\theta) = m_p r_p g \sin\theta + \frac12 (I + m_p r_p^2 + m_c r_c^2 ) \omega^2 - m_c r_c g \sin\theta \ ,$$

donde el subíndice p se refiere al proyectil, e I es el momento de inercia de la catapulta (sin proyectil ni contrapeso).

Igualando (1) y (2), podemos encontrar la velocidad angular.

Ahora, sabemos que la trayectoria del proyectil (mientras está enganchado a la catapulta) vendrá dada por

$$\vec r = r_p ( \cos\theta , \ \sin\theta ) \ .$$

Derivando, tenemos su velocidad

$$\vec v = \frac{\dd \vec r}{\dd t} = \frac{\dd \vec r}{\dd \theta} \frac{\dd\theta}{\dd t} = \omega \frac{\dd \vec r}{\dd\theta}\ .$$

Y la aceleración,

$$\vec a = \omega \dfrac{\dd}{\dd\theta} \left( \omega \frac{\dd \vec r}{\dd\theta} \right) \ .$$

Y, por supuesto, la fuerza total debe ser proporcional a la aceleración

$$\vec F = \vec N - m_c g \vec k = m_c \vec a\ .$$

A ver si a partir de aquí llegas a algo

Lo que necesitas comprobar es que la fuerza $\vec N$ no tiene componente perpendicular a la catapulta cuando $\theta = \pi/2$. Como la catapulta es vertical en ese momento, sólo es necesario que calcules la componente horizontal.

[Joey]

Re: Catapulta (2)

$$\vec F = \vec N - m_c g \vec k = m_c \vec a\ .$$

Esta ecuación no la entiendo. No puedo imaginarme hacia donde van las fuerzas.

Y en la de la energía ¿consideras los pesos como masas puntuales y la catapulta como sólido rígido?

-gracias por tu tiempo

[pod]

Re: Catapulta (2)

Esta ecuación no la entiendo. No puedo imaginarme hacia donde van las fuerzas.

Hacia donde vayan es igual. Lo que importa es que la fuerza total será igual al peso más la fuerza de contacto (la "normal", que en realidad no tiene por qué ser normal).

Y en la de la energía ¿consideras los pesos como masas puntuales y la catapulta como sólido rígido?

-gracias por tu tiempo

Sí.

De hecho, el contrapeso podrías considerarlo como parte de la catapulta (iría dentro de "I"), pero entonces lo que habría que poner es la altura del centro de masas (está claro que el centro de masas no estaría en la bisagra, sino no giraría).

Esta forma me parece más clara, considero que la palanca en si es uniforme y simétrica (su CM está en la bisagra, por eso no da energía potencial) y gira gracia a que en el extremo hay un contrapeso.

[Jose D. Escobedo]

Re: Catapulta (2)

Voy a tratar de darle otro enfoque, sin usar la conservacion de la energia.
Creo que el secreto esta en encontrar la normal en funcion del angulo.

Tomando el eje de rotacion el de la catapulta como referencia para los momentos de fuerza se tiene que:

$\vec L \times M\vec g + \vec l \times m \vec g + \vec r \times \vec N = -I \ddot \phi \hat k$ (clockwise)

Donde, m es masa de la barra de la catapulta, M es la masa del contrapeso.

$-LMg (\hat e_r \times \hat j) - l mg (\hat e_r \times \hat j) + r N (\hat e_r \times \hat e_\phi) = i \ddot \phi \hat k$

$-LMg \cos \phi - lmg \cos \phi + Nr = -I \ddot \phi$

$K \cos \phi - Nr = I \ddot \phi$...(1) , donde K es una constante para simplificar.

El objeto que sirve de proyectil esta en un sistema de referencia no inercial , entonces en la segunda ley de newton hay que incluir fuerzas inerciales de apoyo.

la segunda ley de newton para sistemas no inerciales tiene la siguiente forma de acuerdo con mi libro:

$\displaystyle \vec F - m \vec A_o -2m \vec \dot \phi \times \vec v' - m \vec \ddot \phi \times \vec r' - m \vec \dot \phi \times ( \vec \dot \phi \times \vec r') = m \vec a'$

$\vec A_o =0$ porque el objeto esta en sistema que esta rotando (la catapulta)

$\vec v' =0$ porque en el sistema no inercial el objeto no se mueve.

$\vec a' = 0$ por lo mismo que en $\vec v'$

la fuerza inercial $m \vec\omega \times (\vec \omega \times \vec r)= 0$ porque se compese radialmente con las paredes del porta objetos de la catapulta. $\Rightarrow$

$\displaystyle \vec F = m \vec \ddot \phi \times \vec r'$

$r = r'$ porque es el mismo, y efectos relativistas quedan descartados$\Rightarrow$

$-N\hat e_\phi - mg \hat j = m \ddot \phi r (-\hat k \times \hat e_r)$ (la posicion del vector $\displaystyle \vec \ddot \phi)$ es "into the page"

$- N - mg (\hat j \cdot \hat e_\phi) =-m \ddot \phi r$

$N + mg \cos \phi = mr \ddot \phi$...(2)


Finalmente, sustituyes $\ddot \phi$ de (2) en (1) que te dara una expresion como:

$N = C \cos \phi$ donde C es una constante, por lo que N=0 cuando $\displaystyle \phi = - \frac{\pi}{2}$ asi la catapulta girara hasta que el porta-objeto alcance una posicion vertical.

regards

Jose

[pod]

Re: Catapulta (2)

$\vec L \times M\vec g + \vec l \times m \vec g + \vec r \times \vec N = -I \ddot \phi \hat k$ (clockwise)

El objeto que sirve de proyectil esta en un sistema de referencia no inercial , entonces en la segunda ley de newton hay que incluir fuerzas inerciales de apoyo.

Esto no es necesario. Uno puede utilizar el sistema de referencia externo, sin girar. Entonces, lo que hay que imponer es que la aceleración es la centrípeta. Claro, al final es lo mismo, sólo cambia el origen que tiene cada término de la ecuación.


Por cierto, ayer puse todas las ecuaciones en el mathematica para acabar la demostración rápido, y lo que estábamos intentando funciona Eso sí, JOey, tú tienes que hacerlo a mano

[Joey]

Re: Catapulta (2)

Eso sí, JOey, tú tienes que hacerlo a mano

Le rezaré a san Alberto Magno por que no pongan nada parecido en mi exámen. Porque me da que en medio de un exámen, con los nervios, no lo saco ni de coña