Divulgación Angulo de lanzamiento de un proyectil

[julitolo]

Hola a todos.

Soy nuevo en este foro, y con la fisica, como si lo fuera, dado que hace anhos que no la toco (perdon por la ortografia, escribo desde Irlanda).

Mi pregunta esta relacionada con el lanzamiento de una catapulta (mas concretamente de un "trebuchet", creo que en castellano seria "fundibulo"). Estoy interesado en conocer el angulo necesario para que el lanzamiento sea optimo, es decir, la distancia recorrida sea la maxima posible. Buceando por la red encontre articulos y documentos con respuestas de todo tipo: algunos afirman categoricamente que el angulo optimo es de 45 grados; en otro sitio pude leer que el angulo optimo teorico es de 45, pero en la practica puede ser menor; e incluso encontre un metodo para calcular el angulo optimo, con dos ejemplos donde el angulo obtenido era siempre menor de 45.

Cual es realmente el angulo optimo para un lanzamiento?

Muchas gracias por vuestra ayuda. Un saludo

[pod]

Re: Angulo de lanzamiento de un proyectil

El ángulo óptimo es 45 grados si se cumplen (todas) las condiciones siguientes:

• El lanzamiento y el aterrizaje se producen a la misma altura (esto casi nunca suele ser cierto, ya que la catapulta no suele estar enterrada de forma que el proyectil se despegue de ella justo a la altura del piso... aunque muchas veces se hace esa aproximación).
• La altura máxima del lanzamiento es mucho menor que el radio de la tierra, y por lo tanto, poner la gravedad como una constante es una buena aproximación (suele cumplirse).
• El alcance es mucho menor que el radio de la tierra, de forma que uno puede considerar que la superficie es plana (suele cumplirse).
• El rozamiento del proyectil con el aire es tan pequeño que uno puede despreciarlo (éste es seguramente el efecto que habrás visto).

[julitolo]

Re: Angulo de lanzamiento de un proyectil

Muchas gracias, Pod, esa explicacion aun no la habia encontrado en ningun sitio. Lo de la resistencia del aire si que lo habia considerado, suponiendo siempre que era nula; y los puntos que hacen referencia al radio de la tierra no me afectan, jeje.

Me sorprende sin embargo que en ningun sitio hicieran referencia a tu primer punto. Y pensando un poquito es una explicacion muy logica. Entonces supongo que ese era mi problema, ya que yo estoy considerando un lanzamiento "normal" de la catapulta, es decir, en el que el proyectil es lanzado desde una altura de 30 o 35 metros, sumando altura a la que se encuentra el eje y longitud del brazo. Por lo tanto, el angulo optimo de mi lanzamiento si que seria menor de 45 grados... ahora las piezas empiezan a encajar!!

Muchas gracias de nuevo.

Un calido saludo desde la fria Irlanda!

[gfellay]

Re: Angulo de lanzamiento de un proyectil

Yo había dejado una pregunta similar respecto al tema y como no tuve una respuesta simple (porque lamentablemente si la altura inicial es distinta de la altura de llegada, las cuentas se complican), decidí hacer un archivo Excel para poder parametrizar la altura inicial, la velocidad inicial y que calcule el ángulo óptimo. Siempre son aproximaciones, pues la derivada queda bastante complicada (para igualarla a cero) y habría que "atacarla" con métodos numéricos.
Por si oz interesa, dejo el archivo pues puede ser de utilidad (aunque sea para aproximar la solución).

Saludos
gfellay

PD: cambié el adjunto para que calcule el angulo entre
$[-Y_{0}, Y_{0}]$

[pod]

Re: Angulo de lanzamiento de un proyectil

Yo si queréis os digo la fórmula. Es algo difícil de sacar (luego si lo pedís lo hago ), pero el resultado es simple,

$$\tan\theta = \frac1{ \sqrt{1+\frac{2gh}{v^2} }}\ .$$

[gfellay]

Re: Angulo de lanzamiento de un proyectil

Yo que estaba tan entusiasmado con mi excelito que aproximaba el ángulo y llegaste a "pincharme el globo" y darme el resultado exacto
Fuera de broma, muchas gracias Pod por este resultado pues la verdad me estaba quebrando la cabeza y no podía llegar a una respuesta "sencilla"

Saludos
gfellay

[lucass]

Re: Angulo de lanzamiento de un proyectil

Yo si queréis os digo la fórmula. Es algo difícil de sacar (luego si lo pedís lo hago ), pero el resultado es simple,

$$\tan\theta = \frac1{ \sqrt{1+\frac{2gh}{v^2} }}\ .$$

Esa es la fórmula que da el ángulo para el cual el alcance es máximo??
Estaría bueno que, cuando tengas tiempo, muestres como llegar, nomás por curiosidad. Sin compromiso, ok
nos vemos

[pod]

Re: Angulo de lanzamiento de un proyectil

Esa es la fórmula que da el ángulo para el cual el alcance es máximo??
Estaría bueno que, cuando tengas tiempo, muestres como llegar, nomás por curiosidad. Sin compromiso, ok
nos vemos

En realidad, lo que hice fue poner las ecuaciones en el mathematica y hacer que él haga los cálculos por mi

El procedimiento es el siguiente:

1. Poner las ecuaciones del movimiento,

   $$\begin{aligned}y & = h + v \sin\theta\ t - \frac12 g t^2 \ , \\ x & = v\cos\theta\ t \ .\end{aligned}$$

2. Imponer y = 0, y aislar el tiempo. Uno tiene que elegir cual de las dos opciones es la Física (en este caso, la que tiene el signo +).
3. Substituir el tiempo dentro de la segunda ecuación, para obtener el alcance en función de los parámetros.
4. Derivar el alcance respecto del ángulo.
5. Igualar la derivada a cero y aislar el ángulo.

Y por último, pedir a Mathematica que lo simplifique todo y lo escriba de la forma más bonita (parece que es la tangente). Os adjunto el archivo Mathematica, para quien lo tenga.