1r ciclo Ecuación de onda con condiciones iniciales

[Macbereth]

Hola disculpe las molestias que pueda ocacionarles pero tengo un grave problema con este ejercicio
-Sea una cuerda sujeta por los extremos, es decir x=0 y x=L, que satisface la ecuacion de onda unidimensional
$\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}x^2}= \frac{1}{v^2} \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}t^2}$
Con v la velocidad de propagación de la onda. La cuerda se pone a vibrar mediante un "impulso" modelado por la funcion delta de Dirac (que bueno mas biene es la delta de Dirac), en x=a las condiciones son las siguientes:
u(x,0)=0
$\frac{\mathrm{d}u(x,0)}{\mathrm{d}t}= Lv_0\delta(x-a)$
Encuentra la solución a este problema y encuentra la velocidad transversal para todo tiempo t>0. Grafica u(x,t) y $\frac{\mathrm{d}u(x,0)}{\mathrm{d}t}$ para 3 valores de t fijos, distintos de 0, y con n=10. n es el índice de la solución
El problema en realidad es largo espero no este hacienod algo que no en el foro

[pod]

Re: Ecuación de onda con condiciones iniciales

Bueno, aplicando el método de separación de variables y las condiciones de contorno (me ahorraré esta parte, supongo que sabes hacerlo), sale que la solución general de ondas en una cuerda de extremos fijos es

$$u(x,t) = \sum_{n=1} \sin \frac{n\pi x}{L} \left( a_n \sin \frac{n \pi v t}{L} + b_n \cos \frac{n \pi v t}{L} \right) \ .$$

La condición inicial, u(x,0) = 0 directamente nos elimina todos los cosenos, $b_n = 0$. Ahora, aplicamos la condición a la derivada,

$$\left. \frac{\partial}{\partial t} u(x,t)\right|_{t=0} = \sum_{n=1} a_n \frac{n \pi v}{L}\ \sin \frac{n\pi x}{L} = L v_0 \delta(x-a) \ .$$

Siguiendo el procedimiento usual, para aislar los coeficientes $a_n$ lo que hago es multiplicar por $\sin(m\pi x / L)$ e integrar,

$$a_m \frac{m \pi v}{L} \frac{L}{2} = L v_0 \int_0^L\!\! \dd x\ \sin\frac{m\pi x}{L} \delta(x-a) = L v_0 \sin\frac{m\pi a}{L}\ .$$

Es decir,

$$a_m = \frac{2 L v_0}{m \pi v} \sin\frac{m\pi a}{L}\ .$$

En definitiva, si no me he equivocado, uno tiene

$$u(x,t) = \sum_{n=1} \frac{2 L v_0}{n \pi v} \sin\frac{n\pi a}{L}\ \sin \frac{n\pi x}{L}\ \sin \frac{n \pi v t}{L}\ .$$

A partir de ahí, debería ser fácil concluir.


Hay otra forma de hacerlo, se basa en tomar la solución más general posible a la ecuación de ondas,

$$u(x,t) = f(x-vt) + g(x+vt) = f(x-vt) - f(-x-vt) \ ,$$

donde en el segundo paso he usado la condición u(0, t) implica g(z) = - f(-z). Luego, la condición inicial que te dan implica que $f'(x) \propto \delta(x-a)$, y por lo tanto f(x) es una función theta de Heaviside. Naturalmente, da lo mismo de las dos formas, lo de antes no es más que el desarrollo de Fourier de la función theta. Habría que ir con cuidado, ya que u(L, t) = 0 implica f(z) = f(z+2L), que es una propiedad que habría que meter a mano (probablemente, definiendo la función f a trozos).

[Macbereth]

Re: Ecuación de onda con condiciones iniciales

Bueno gracias la verdad es q esta super bien , solo tengo una duda respecto a la separación de variables y la forma en que queda, lo aproximas a una serie de Fourier?

[pod]

Re: Ecuación de onda con condiciones iniciales

Bueno gracias la verdad es q esta super bien , solo tengo una duda respecto a la separación de variables y la forma en que queda, lo aproximas a una serie de Fourier?

No es una aproximación, es exacto. La cosa va así, ensayo una separación de variables, u = f(x) g(t), lo cual me queda en la ecuación

$$\frac{1}{f} \frac{\dd^2 f}{\dd x^2} = \frac1{c^2 g} \frac{\dd^2 g}{\dd t^2}\ .$$

El miembro de la izquierda es sólo función de x, mientras que el de la derecha lo es sólo de t. El único modo de que dos funciones de dos variables diferentes sean iguales es que sean constante, por ejemplo $k^2$,

$$\frac{1}{f} \frac{\dd^2 f}{\dd x^2} = k^2 \ , \qquad \frac1{c^2 g} \frac{\dd^2 g}{\dd t^2} = k^2 \ .$$

Estas dos ecuaciones son en realidad equivalentes a la del oscilador armónico, así que las soluciones

$$f(x) = f_1 \sin k x + f_2 \cos k x \ , \qquad g(t) = g_1 \sin k ct + g_2 \cos k ct \ .$$

Las condiciones de contorno dicen que f(0) = 0, lo cual implica directamente que $f_2 = 0$. La condición f(L) = 0 implica

$$k L = n \pi\ .$$

Por lo tanto,

$$u_n(x, t) = \sin \frac{\pi x}{L} \left( a_n \sin \frac{\pi c t}{L} + b_n \cos \frac{\pi ct}{L} \right) \ .$$

Donde he definido $a_n = f_1 g_1$ y $b_n = f_1 g_2$. Ahora bien, esto vale para cualquier valor entero n, así que la solución más general posible es sumar sobre todos los n, que es lo que te di. No es necesario incluir los n negativos ya que los senos y cosenos tienen propiedades de paridad.