Equilibrio de tres esferas

[[Beto]]

Propongo analizar el siguiente sistema que se muestra en la figura considerando que el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es $\mu_s$, considerando que las esferas son identicas.

[alefriz]

Re: Equilibrio de tres esferas

Propongo analizar el siguiente sistema que se muestra en la figura considerando que el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es $\mu_s$, considerando que las esferas son identicas.

[ATTACH]38[/ATTACH]

Llego a que para que exista equilibrio, el coeficiente de rozamiento debe alcanzar un cierto valor... no estoy seguro si es del todo correcto, pero lo pongo por si alguien llega a algo similar:

$\mu_s \geq \frac{sqrt{15}-2\sqrt{3}}{3}$

[pod]

Re: Equilibrio de tres esferas

Llego a que para que exista equilibrio, el coeficiente de rozamiento debe alcanzar un cierto valor... no estoy seguro si es del todo correcto, pero lo pongo por si alguien llega a algo similar:

$\mu_s \geq \frac{sqrt{15}-2\sqrt{3}}{3}$

Pon los cálculos, hombre! (viva la vagancia )

[alefriz]

Re: Equilibrio de tres esferas

Pon los cálculos, hombre! (viva la vagancia )

Jajaja, si lo se, debería haberlo desarrollado un poco... pero como lo tenia a sucio en una hoja guarreada me entró vagancia infinita o más, pero bueno, cuando tenga algo de tiempo lo pongo.

[carroza]

Re: Equilibrio de tres esferas

Propongo analizar el siguiente sistema que se muestra en la figura considerando que el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es $\mu_s$, considerando que las esferas son identicas.

[ATTACH]38[/ATTACH]

Hola. El problema es muy bonito.

A mí me sale que, si el coeficiente de rozamiento es mayor que $2-\sqrt{3}$, el sistema es estable.

Si el coeficiente de rozamiento es ligeramente menor que ese valor, las bolas inferiores ruedan sobre el suelo y deslizan sobre la bola de arriba.

Finalmente, si el coeficiente de rozamiento es menos que 0.065 (aprox), las bolas inferiores deslizan tanto sobre el suelo como sobre la bola de arriba.

No pongo los cálculos, para que la gente se pique y lo intente. Una pista: La estabilidad implica que, sobre la bola inferior. la suma de fuerzas y la suma de momentos sea cero.


Otro problema análogo:

Cuál es el coeficiente de rozamiento para que seis bolas (tres abajo, dos en medio y una arriba) queden estables?

....O
.. O O
. O O O
._______________

[[Beto]]

Re: Equilibrio de tres esferas

A continuación pongo el dibujito donde se muestran los diagramas de cuerpo libre para una de las esperas inferiores y para la espera superior, si me olvide de colocar alguna fuerza avisenme para corregirlo, en todo caso si es que esta bien espero que esto sea de utilidad para que el que se anime a esbosar una solucion de este problema.

[carroza]

Re: Equilibrio de tres esferas

Gracias por el dibujo.

Para mí, N_2 debe ser cero, ya que, en cuanto dejan de estar en contacto las bolas inferiores no puede haber reacción.

[[Beto]]

Re: Equilibrio de tres esferas

Pues si al considerar que las esferas están a punto de perder la estabilidad $N_2=0$, además $N_3$ vendría a ser numéricamente igual a una de las componentes del peso de la esfera superior, es decir en este caso se podría entender que el peso de la esfera superior se distribuye por igual al apoyarse sobre las dos esferas que están abajo (ojo que aca se debe de entender que la suma vectorial de esas dos componentes en dirección de la normal dan el peso).

Luego de eso solo bastaría considerar que para que haya estabilidad

$f_1\geq {\mbox {suma de fuerzas horizontales}}$

Corríjanme si me he equivocado en algo.

[carroza]

Re: Equilibrio de tres esferas

Pues si al considerar que las esferas están a punto de perder la estabilidad $N_2=0$, además $N_3$ vendría a ser numéricamente igual a una de las componentes del peso de la esfera superior, es decir en este caso se podría entender que el peso de la esfera superior se distribuye por igual al apoyarse sobre las dos esferas que están abajo (ojo que aca se debe de entender que la suma vectorial de esas dos componentes en dirección de la normal dan el peso).

Luego de eso solo bastaría considerar que para que haya estabilidad

$f_1\geq {\mbox {suma de fuerzas horizontales}}$

Corríjanme si me he equivocado en algo.

Si las bolas deslizaran sobre el suelo, sin rodar, esa seria la solucion. Pero las bolas pueden rodar sobre el suelo.

Si no hay movimiento, o si hay rodadura, la fuerza de rozamiento es menor que el coeficiente de rozamiento por la normal.
Si hay deslizamiento, la fuerza de rozamiento es el coeficiente por la normal.

Por tanto, la estabilidad implica tres condiciones.

1) Que no haya deslizamiento en las dos superficies.
2) Que no haya rodadura sobre el suelo, y deslizamiento sobre la superficie entre la bolas.
3) Que no haya rodadura entre las bolas, y deslizamiento sobre el suelo.


El problema es más complicado, y bonito, de lo que parece al principio. Os recomiendo intentarlo.

[carroza]

Re: Equilibrio de tres esferas

OK, voy a dar una solución del problema de la estabilidad de las tres esferas, basado en el dibujo de Neofebo. (Realmente, deberiamos hablar de la estabilidad de tres cilindros, para evitar que se caigan para adelante o hacia atras.)

1) La bola inferior no gira. Suma de momentos= 0.

Por tanto, F1=F2=F (las fuerzas de rozamiento han de ser iguales.

2) La bola inferior no se desplaza horizontalmente:

$R \sin(30) = F \cos(30)+F$

$F/R = \sin(30)/(\cos(30)+1) = \tan(15) = 2-\sqrt{3}$

3) La bola superior no se desplaza verticalmente.

$P= 2R \cos(30) + 2 F \sin(30)$4) La bola inferior no se desplaza verticalmente

$N= P + R cos(30) + F sin(30)$De todo esto, llegamos a que N= 3P/2 = 3R.

La normal con el suelo es siempre superior a la reacción entre bolas. Por tanto, el limite de la fuerza de rozamiento con el suelo $F1 \le \eta N$ es siempre superior que el limite de la fuerza de rozamiento entre bolas $F2 \le \eta R$. Por tanto, el sistema dejará de ser estable cuando

$\eta \le F2/R = \tan(15) = 2-\sqrt{3}$En este caso, las bolas inferiores rodarán por el suelo, y la superior deslizará sobre las superficies de las otras, cayendo hacia abajo.

PS: Si las bolas, en lugar de formar un triangulo equilatero, formaran inicialmente in triangulo isosceles de tal forma que la normal entre las bolas formara un angulo $\alpha$ con la vertical, el limite seria

$\eta \le F2/R = \tan(\alpha/2)$

[andrezitofer]

Re: Equilibrio de tres esferas

Yo estoy muy seguro que el ángulo que se plantea acá no es de 60º para el caso de cuatro esferas idénticas (en el espacio); tres en el piso y una cuarta encima de ellas (una banda sujeta las tres de abajo impidiendo el movimiento), lo he comprobado matemáticamente y en un software de diseño y el ángulo real ronda entre los 54.5º y los 54.9º (Matemáticamente resultó ser 54.74º), pues para tal apliqué tpodos los conocimientos adquiridos en el tema de centroides, con eso me bastó.

Gracias y espero em comenten los q piensan al respecto.

[Nachop]

Re: Equilibrio de tres esferas

Yo estoy muy seguro que el ángulo que se plantea acá no es de 60º para el caso de cuatro esferas idénticas (en el espacio); tres en el piso y una cuarta encima de ellas (una banda sujeta las tres de abajo impidiendo el movimiento), lo he comprobado matemáticamente y en un software de diseño y el ángulo real ronda entre los 54.5º y los 54.9º (Matemáticamente resultó ser 54.74º), pues para tal apliqué tpodos los conocimientos adquiridos en el tema de centroides, con eso me bastó.

Gracias y espero em comenten los q piensan al respecto.

mmm... no puedo rebatir tus argumentos, ya que desconozco que es un centroide, pero geométricamente se forma un triángulo equilatero, por ende sus ángulos interiores miden 60º :P

[[Beto]]

Re: Equilibrio de tres esferas

mmm... no puedo rebatir tus argumentos, ya que desconozco que es un centroide, pero geométricamente se forma un triángulo equilatero, por ende sus ángulos interiores miden 60º :P

El centroide es algo asi como el centro geométrico de la figura, si se trata de una masa homogenea, se ubica justo en el centro de masa.

Y por cierto, el angulo es 60° ... y el que argumente algo diferente que coloque la demostracion que haya hecho.

[carroza]

Re: Equilibrio de tres esferas

Yo estoy muy seguro que el ángulo que se plantea acá no es de 60º para el caso de cuatro esferas idénticas (en el espacio); tres en el piso y una cuarta encima de ellas (una banda sujeta las tres de abajo impidiendo el movimiento), lo he comprobado matemáticamente y en un software de diseño y el ángulo real ronda entre los 54.5º y los 54.9º (Matemáticamente resultó ser 54.74º), pues para tal apliqué tpodos los conocimientos adquiridos en el tema de centroides, con eso me bastó.

Gracias y espero em comenten los q piensan al respecto.

El problema inicial corresponde al equilibrio de tres esferas iguales, formando un triangulo, dos abajo y dos arriba, que se mueven en el plano. Estas forman 60 grados.

El problema que planteas ahora es diferente: Cuatro esferas, formando un tetraedro, tres abajo y una arriba. Aqui obviamente el angulo es menor de
60 grados.