Otras carreras demostracion 3ª ley de kepler

[ser humano]

hola, queria saber si alguien conoce la deduccion con la que se llega a la expresion matematica que expone newton de la tercera ley de kepler, y si la podria transcribir o escrbir aqui. la estuve buscando bastante y no la encuentro, y estuve pensando y no me sale .
saludos!

[pod]

Re: demostracion 3ª ley de kepler

Es algo que se estudia normalmente en segundo de carrera de Física. Es un poco largo como para ponerlo aquí, busca libros o apuntes de ese nivel.

[ser humano]

Re: demostracion 3ª ley de kepler

si, en la facultad lo hicieron solo para orbitas circulares .

[aLFRe]

Re: demostracion 3ª ley de kepler

Mira a ver si de aquí
sacas algo.
Saludos.

[pod]

Re: demostracion 3ª ley de kepler

Ah, en la mía no. Era largo pero, pero no imposible. Hay que introducir todas las características de la órbita e ir eliminando parámetros hasta que queden los que uno quiere.

Para órbitas circulares circulares es trivial, de hecho. Se hace en bachiller sin más problemas.

[ser humano]

Re: demostracion 3ª ley de kepler

bueno, despues voy a volver a intentarlo a ver si me sale. si lo logro lo subo .

mas tarde voy a intentar descifrar la pagina que alfre me paso (digo descifrar por mis corta comprension del ingles ).

saludos! gracias por las respuestas

[Jose D. Escobedo]

Re: demostración 3ª ley de Kepler

Creo que la puedes encontrar en la Wikipedia mira este link

https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler...anetary_motion

[ser humano]

Re: demostracion 3ª ley de kepler

ya encontre la demostracion, no me extraña que no haya podido hacerla, puesto que implementa datos de las elipses que yo no conocia.

si alguien tambien esta interesado aca les dejo la pagina (en ingles)(voy a tener que ponerme a estudiar ingles), es simple y es interesante conocer la fundamentacion de las formulas que se implementan :

http://www.alcyone.com/max/physics/kepler/6.html

[Juanma1976]

Re: demostracion 3ª ley de kepler

Buenas tardes, después de haber mirado en un par de libros me atrevo a formular una demostración simplificada de lo que encontré (casi todo del libro MECÁNICA CLÁSICA de H. Goldstein).

A partir de la Lagrangiana del sistema
$L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V(r)$

Solucionando en función de \theta:
$\frac{d}{dt}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot{\theta}}}=\frac{{\partial L}}{{\partial\theta}}=0$

que da lugar a la ecuación de segundo orden

$mr^2\ddot{\theta}=0$

que se reduce a una de primero integrando respeto del tiempo y añadiendo la constante de integración l, el momento cinético del sistema.

$mr^2\dot{\theta}=l$

A partir de aquí se deduce la segunda ley de Kepler, ya que a partir del dibujo

se dedude que $\frac{1}{2}r^2d\theta=dA$

y por tanto $\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}=\frac{l}{2m}$ que es contante.

Si integramos a lo largo de todo el periodo T de la órbita
$\displaystyle\int_0^T dt=\frac{2m}{l}\int_0^A dA$

De donde si suponemos que la órbita es periódica y elíptica
$T\frac{l}{2m}=\pi ab$ donde a es el semieje mayor y b el semieje menor de la elipse.

o elevando al cuadrado $T^2\frac{l^2}{4m^2}=\pi^2 a^2b^2$
Hasta aquí no se ha supuesto ninguna condicion que tuviera que cumplir la función potencial.

A partir de aquí, utilizando el teorema de conservación de la energia $E=T+V$ constante

$E=T+V=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+V(r)$

que derivada respecto del tiempo queda
$m\ddot{r}=-(mr\dot{\theta}^2+V)=0$

La expresión se simplifica utilizando $mr^2\ddot{\theta}=0$ y multiplicando por $\dot{r}$ quedando

$m\ddot{r}\frac{dr}{dt}=-\frac{d}{dr}(\frac{1}{2}\frac{l^2}{mr^2}+V)\cdot\frac{dr}{dt}$

y dado que $m\ddot{r}\dot{r}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}\dot{r}^2)$
tenemos que

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{1}{2}\frac{l^2}{mr^2}+V)=0$

o $\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{1}{2}\frac{l^2}{mr^2}+V=cte=E$

ahora se puede integrar la expresión:

$t=\displaystyle\int_{u_0}^u\frac{du}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}-\frac{2mk}{l^2}u-u^2}}$

con los cambios $dt=\frac{mr^2}{l}d\theta$ , $u=\frac{1}{r}$ y eligiendo $V=-\frac{k}{r}=-ku$

La integral definida es un arco coseno en función de los coeficientes del polinomio respecto de u de dentro de la raiz:

$\theta-\theta_0=-\arccos{\displaystyle\frac{\frac{l^2u}{mk}-1}{\sqrt{1+\frac{2El^2}{mk^2}}}}$

que se expresa
$\frac{\alpha}{r}=1+e\cos(\theta-\theta_0)$

donde $\alpha=\frac{l^2}{mk}$ y $e=\displaystyle\sqrt{1+\frac{2El^2}{mk}}$

Por las propiedades de la elipse:

$a=\frac{\alpha}{1-e^2}=\frac{k}{2|E|}$ y $b=\frac{\alpha}{\sqrt{1-e^2}}=\frac{l}{\sqrt{2m|E|}}$

Si sustituimos a y b en $T^2\frac{l^2}{4m^2}=\pi^2 a^2b^2$

nos queda que $T^2=\frac{\pi^2 mk^2}{2|E|^3}=\frac{4\pi^2m}{k}a^3$ que es la tercera ley de Kepler.

Uhff sobre el papel parecía menos denso....

Hay que aclarar que sólo para valores negativos de la Energia, $E<0$ la excentricidad de la cónica que contiene la órbita es menor que 1, $e<1$, lo que da lugar a una elipse.

hola, queria saber si alguien conoce la deduccion con la que se llega a la expresion matematica que expone newton de la tercera ley de kepler, y si la podria transcribir o escrbir aqui. la estuve buscando bastante y no la encuentro, y estuve pensando y no me sale .
saludos!

[Alriga]

Puede interesar también consultar en esta misma web:
5. El problema de dos cuerpos (Matemático)
Saludos.

[ser humano]

Re: demostracion 3ª ley de kepler

muchas gracias por tu tiempo y dedicacion! y felicitaciones por la deduccion

[Juanma1976]

Re: demostracion 3ª ley de kepler

Por cierto, ¿que carrera y curso estás haciendo? Más que nada por curiosidad y por no dar ciertos conocimientos por supuestos.

Un saludo.

muchas gracias por tu tiempo y dedicacion! y felicitaciones por la deduccion

[ser humano]

Re: demostracion 3ª ley de kepler

astronomia