Otras carreras Oscilaciones

[Nachop]

Es intuitivo imaginar que el sistema oscila, pero no veo qué fuerza puede ser la restituidora, quizás sea el roce, pero ésta no tiene una componente en donde aparezca un seno y ahí forma el oscilador

Muchas gracias por su ayuda

[ser humano]

Re: Oscilaciones

si comprendi bien el enunciado, la fuerza que permitiria la oscilacion seria el peso, ya que al girar un poco el centro de masas se desplaza con el objeto (obviamente) y la nueva posicion que adquiere hace que este ejerza un torque con respecto al punto de contacto de la esfera hueca y el suelo. naturalmente este torque produce la rotacion

[Nachop]

Re: Oscilaciones

Gracias por responder ser humano

Es que si fuese sólo por el peso, ese cilindro incluso sin ese horificio osciliaría, entonces en qué influye ese agujero?

[pod]

Re: Oscilaciones

Creo que la forma más sencilla de tratar esto no es por fuerzas, sino por energías. Obtén la energía potencial de este trasto.

Recuerda que si tenemos una energía potencial general, U(x) (en este caso, la x sería un ángulo), tenemos un punto de equilibrio en $x_0$ cuando

$$\left. \dfrac{ \dd U(x) }{\dd x} \right|_{x=x_0} = 0 \ .$$

Teniendo esto en cuenta, un desarrollo de Taylor nos da

$$U(x) = U(x_0) + \frac12 \left. \dfrac{ \dd^2 U(x) }{\dd x^2} \right|_{x=x_0}(x-x_0)^2 + o(x-x_0)^3 \ .$$

Comparando con un oscilador armónico,

$$U(x) = \frac12 k (x-x_0)^2 \ .$$

La constante $U(x_0)$ no nos importa, nos indica el origen de potenciales y se puede sumar y restar si queremos. Pero comparando el término cuadrático, tenemos que

$$k =\left. \dfrac{ \dd^2 U(x) }{\dd x^2} \right|_{x=x_0} .$$

Esto es algo general, siempre podemos tener la constante recuperadores como la derivada segunda de la energía potencial (cuando la primera es cero).

En este caso, la energía simplemente es potencial gravitatoria. Uno puede considerar el sistema como dos cilindros superpuestos, uno de densidad negativa (i.e, el agujero). Así que sólo necesitas la energía potencial gravitatoria de un cilindro. Alternativamente, puedes considerar que toda la masa se encuentra concentrada en el centro de masas, haciéndolo todo un poco más sencillo (te ahorras las integrales).

[Metaleer]

Re: Oscilaciones

Otra manera, basada en energías:

Se trata de buscar la energía total del bicho cuando está en movimiento. Hay: energía cinética de rotación, energía cinética de traslación y energía potencial gravitatoria (la fuerza de rozamiento no realiza trabajo, luego no influye en ningún análisis energético que hagamos).

$\displaystyle E = \frac{1}{2}I \omega^2 + \frac{1}{2}M v^2 + M g d (1 - \cos \theta),$

donde el origen de potenciales lo he tomado a la altura del centro de rotación del objeto, siendo $d$ por tanto la distancia entre el centro de masas del objeto y el centro de rotación del objeto. Como rueda sin deslizar, $v = \omega R$, y por tratarse todas las fuerzas que realizan trabajo en el problema de conservativas,

$\displaystyle \frac{dE}{dt} = 0 \Rightarrow I \frac{d \omega}{dt} + M R^2\frac{d \omega}{dt} + Mg d \sin \theta = 0,$

y teniendo en cuenta que $\displaystyle \frac{d \omega}{dt} = \ddot{\theta}$,

$\displaystyle \ddot{\theta} = - \frac{Mg d}{I + MR^2} \sin \theta \Rightarrow \{ \sin \theta \approx \theta \} \Rightarrow \boxed{\ddot{\theta} = - \frac{Mg d}{I + MR^2} \theta},$

ecuación de un oscilador armónico simple. Si quieres calcular la frecuencia angular, el problema está en el cálculo del momento de inercia $I$ (en torno al eje de rotación), y la distancia $d$ que separa este eje de rotación y el centro de masas.

Saludos.

[Nachop]

Re: Oscilaciones

Muchas gracias a ambos !! se pasaron

Lo único que no entiendo en el desarrollo de pod, es que estoy comparando mi sistema con el de un resorte, es esto válido o estoy confundido? además cómo mato el problema teniendo esto?

Aah y lo otro, Metaleer cuando calculaste la energía potencial, yo pienso, teniendo en cuenta tu origen, que debiese ser $-Mgd \cos \theta$, estoy mal?

[pod]

Re: Oscilaciones

Lo único que no entiendo en el desarrollo de pod, es que estoy comparando mi sistema con el de un resorte, es esto válido o estoy confundido? además cómo mato el problema teniendo esto?

Con un oscilador armónico en general. Los muelles son sólo un ejemplo de MAS.

Cualquier potencial al rededor de un mínimo se comporta como un MAS, eso es lo que se acaba de demostrar.

[ser humano]

Re: Oscilaciones

Gracias por responder ser humano

de nada

Es que si fuese sólo por el peso, ese cilindro incluso sin ese horificio osciliaría, entonces en qué influye ese agujero?

no, porque si no tuviese el orificio el centro de masa seria en el centro geometrico, y entonces el peso no generaria torque en ningun momento con respecto al punto de aplicacion de la fuerza de contacto (ya que el vector posicion seria siempre colineal con el peso)

[Metaleer]

Re: Oscilaciones

Aah y lo otro, Metaleer cuando calculaste la energía potencial, yo pienso, teniendo en cuenta tu origen, que debiese ser $-Mgd \cos \theta$, estoy mal?

Puedes considerarlo como una altura negativa, lo que pasa es que entonces $\theta$ sería un ángulo del cuarto cuadrante, y ahí, el seno es negativo, y obtienes lo mismo, aunque no lo parezca.

Saludos.

[Nachop]

Re: Oscilaciones

Muchas gracias a todos por sus respuestas, retomé el problema y le encontré la solución con torque

Tomando como origen el punto O, y si $AC=d$, entonces

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como estamos tratando con ángulos chicos y además $I_{total}=I+MR^2$ entonces se llega a

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La única duda que me quedó es cómo aplicar el resultado de pod en este problema

[pod]

Re: Oscilaciones

Muchas gracias a todos por sus respuestas, retomé el problema y le encontré la solución con torque

[ATTACH]1183[/ATTACH]

Tomando como origen el punto O, y si $AC=d$, entonces

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como estamos tratando con ángulos chicos y además $I_{total}=I+MR^2$ entonces se llega a

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La única duda que me quedó es cómo aplicar el resultado de pod en este problema

Si lo haces así, no tienes que usar "mi resultado" (que no es mío, es una formula general).

Tal cual lo has hecho (y suponiendo que esté bien, que no lo he comprobado, pero vamos, nos fiamos de ti; por el momento), está claro que el movimiento es armónico, ya que la solución de esa ecuación es

$$\theta = A \cos (\omega t + \varphi_0) \ ,$$

donde

$$\omega^2 = \dfrac{Mgd}{I + MR^2 }\ .$$

[Metaleer]

Re: Oscilaciones

Si lo haces así, no tienes que usar "mi resultado" (que no es mío, es una formula general).

Tal cual lo has hecho (y suponiendo que esté bien, que no lo he comprobado, pero vamos, nos fiamos de ti; por el momento), está claro que el movimiento es armónico, ya que la solución de esa ecuación es

$$\theta = A \cos (\omega t + \varphi_0) \ ,$$

donde

$$\omega = \dfrac{Mgd}{I + MR^2 }\ .$$

¿No debería ser $\displaystyle \omega = \sqrt{\dfrac{Mgd}{I + MR^2 }}$?

[Nachop]

Re: Oscilaciones

Si lo haces así, no tienes que usar "mi resultado" (que no es mío, es una formula general).

Como es una fórmula general, por eso mismo me gustaría saber cómo se aplica a este ejercicio porque de seguro será me servirá más adelante

[pod]

Re: Oscilaciones

Como es una fórmula general, por eso mismo me gustaría saber cómo se aplica a este ejercicio

De seguro será una relación que me servirá más adelante

En realidad, es sencillito. Se puede considerar el sistema como la suma del cilindro macizo, y el agujero (que es otro cilindro, con densidad negativa, de forma que al superponerlos se restan y queda el "vacío"). Sea $\rho$ la densidad del sistema.

Sólo hay que escribir la energía potencial de cada parte del sistema. La del cilindro mayor es muy sencilla, ya que aunque gire su centro de masas no cambia de sitio,

$$U_1 = (\rho \pi R^2 \ell) g R \ ,$$

donde $\ell$ será la longitud del cilindro. El término entre paréntesis es la masa, y la altura es R (tomo como origen de potenciales el "suelo").

El centro de masas del agujero se encuentra situado una altura por encima del centro de la figura, y esa altura cambia según el ángulo girado,

$$h = R + \frac R 2 \cos \theta \ .$$

Por lo tanto, su energía potencial es

$$U_2 = \left(-\rho \pi \frac {R^2}4 \ell \right) g \left( R + \frac R 2 \cos \theta \right) \ .$$

En definitiva, la energía potencial total se puede escribir

$$U = U_1 + U_2 = U_0 - \frac18 \rho \pi R^3 \ell g \cos \theta \ .$$

$U_0$ es la suma de un montón de constantes. Como ahora vamos a derivar, no nos importan. En definitiva, el valor de k se obtiene derivando dos veces,

$$k = \left. \frac{\dd U}{\dd\theta} \right|_{\theta = 0} = \frac18 \rho \pi R^3 \ell g\ .$$

Si lo que quieres es sacar la pulsación (la $\omega$), hay que tener en cuenta que estamos en un oscilador angular. Si en un oscilador lineal hay que dividir por la masa, en este caso hay que dividir por el momento de inercia total del sistema,

$$\omega^2 = \frac{k}{I}\ .$$

Si ninguno de los dos nos hemos equivocado, debe poderse demostrar que ambos resultados son equivalentes.

[Nachop]

Re: Oscilaciones

Como siempre muchas gracias pod! te pasaste