1r ciclo Trabajo de la fuerza de roce

[_FoX_]

La pregunta del control que me hicieron era: Un bloque de masa $m$ se lanza desde una altura $h$, sobre una pista con forma de un cuarto de circunferencia $C$ de radio $h$, como se ve en la figura. Si entre la pista y el bloque, existe un coeficiente de roce dinámico $\mu$, cuando el objeto llega al suelo ¿Cuál es el trabajo total realizado por la fuerza de roce?.

Intenté con la integral de línea $W_r=\int_{C}\vec{F_r}\cdot d\vec{r}$, luego para hallar la fuerza de roce en polares (donde el ángulo medido es respecto al centro de la circunferencia), necesito primero el módulo de la fuerza normal, la cual hallé haciendo un diagrama de cuerpo libre y un equilibrio de fuerzas en la componente normal, con lo que obtuve $||\vec{N}||-mg\sin{\theta}=mw^2h\to ||\vec{F_r}||=\mu(mw^2h-mg\sin{\theta})$, y de ahí no puedo resolver la integral que queda en función de una velocidad angular. En la respuesta que colgó el profesor en la página del curso, aparece que $N-mg\sin{\theta}=0$, pero según yo y mis amigos se debe considerar la fuerza centrípeta, ¿Estoy en lo correcto?.

Saludos y gracias .

[pod]

Re: Trabajo de la fuerza de roce

Yo creo que tienes razón tú. La aceleración en la dirección perpendicular a la superficie sólo es cero si el movimiento es rectilíneo.

[c0per0]

Re: Trabajo de la fuerza de roce

Pues yo tambien creo que tu tienes razon .

Po otro lado caclcular el trabajo en esta situacion no es tan sencillo que digamos, pues como tu ya pusiste, puedes calcular el trabajo usando la definicion del mismo, esto es: $dW=\vec{F}\cdot d\vec{r}$, lo cual para este caso, se puede escribir asi: $dW=-Fhd\theta$. Usando lo que ya tu calculaste, se puede escribir:

$dW=-\mu(\frac{mv^{2}}{h}+mg\sin\theta)hd\theta$

Yo lo escribi con la velocidad tangencial y no la angular como tu lo hiciste. Po otro lado, tambien podemos calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento como la diferencia de enrgias iniciales y finales, esto es:

$W=E_{f}-E_{i}=\frac{1}{2}mv^{2}-mgh\sin\theta$

despejando $v^{2}$ de esta ecuacion y reemplazandola en la anterior, conseguimos la siguiente ecuacion diferencial:

$\frac{dW}{d\theta}+2\mu W=-3\mu mgh\sin\theta$

Aca ya te dejo el trabajo duro para ti n_n, solo debes resolver la ecuacion diferencial anterior, que no es tan complicada, para hallar el trabajo de la fuerza de rozamiento en funcion de $\theta$.

Pdt: Como veras yo considere la velocidad inicial de la particula cero (y creo que asi debe ser pues no te dicen nada de ello )


Salu2

[_FoX_]

Re: Trabajo de la fuerza de roce

conseguimos la siguiente ecuacion diferencial:

$\frac{dW}{d\theta}+2\mu W=-3\mu mgh\sin\theta$

Aca ya te dejo el trabajo duro para ti n_n, solo debes resolver la ecuacion diferencial anterior, que no es tan complicada, para hallar el trabajo de la fuerza de rozamiento en funcion de $\theta$.

Salu2

No sé resolver ecuaciones diferenciales aún, ¿No se puede hacer con la integral?.

[c0per0]

Re: Trabajo de la fuerza de roce

No sé resolver ecuaciones diferenciales aún, ¿No se puede hacer con la integral?.

pues no T_T, de hehco al resolver una integral estas resolviendo una ecuacion diferencial, aunque bastante simple.

De hecho para resolver esta ecuacion diferencial (que por cierto no es homogenea), debemos hallar una solucion homogenea $W_{H}$(esta la consigues haciendo la parte derecha de la ecuacion igual a cero, e integrando de manera simple) y una solucion particular $W_{P}$, que se consigue asumiendo que la funion $W_{P}=B\sin\theta+C\cos\theta$ es solucion de la ecuacion diferencial. Reemplazando $W_{P}$ en la ecuacion diferencial obtenenmos las constantes A y B.
Al resolver la parte homogenea obtendras:

$W_{H}=Ae^{-2\mu\theta}$

la constante A se halla haciendo que al inicio, cuando el angulo es cero el trabajo es nulo (lo cual es evidente).
La solucion de la ecuacion diferencial, sera la suma de la solucion homogenea y la solucion particular, esto es:

$W=W_{H}+W_{P}=(\frac{3\mu mgh}{1+4\mu^{2}})[-e^{-2\mu\theta}+\cos\theta-2\mu\sin\theta]$

Aqui yo ya halle cada una de las constantes (A, B y C).
Bueno a ti te piden el trabajo hasta la parte mas baja, que corresponde a la posicion $\theta=\pi/2$. Reemplazando en nuestra solucion finalmente obtenemos:

$W=-(\frac{3\mu mgh}{1+4\mu^{2}})[e^{-\pi\mu}+2\mu]$

Y ahi acaba la historia n_n

Salu2