1r ciclo Dinámica, problema muy extraño

[rosaleda]

Hola muy buenas, estoy estudiando la dinámica de una partícula, sus correspondientes leyes de newton, ley de hooke etc. Resulta que haciendo unos problemillas para afianzar conocimientos, me he topado con el siguiente, y no se bien por donde meterle mano.

Un cuerpo de 1 kg de masa cae por la acción de su peso, que puede suponerse constante. el aire ejerce sobre el cuerpo una fuerza resistente cuya dependencia con la velocidad es Fr= -0.1v (S.I) calcular la expresión de la velocidad del cuerpo en cualquier instante. ¿Cual es la velocidad límite del cuerpo en su caida?

Sol. v= 98(1-e^-0.1t) (si) V= 98 ms

Gracias a todos, y a ver si entre todos me podeis guiar un poco hacia la solución.

[Metaleer]

Re: Dinámica, problema muy extraño

Hola.

Tomando como el sentido positivo hacia abajo, la segunda ley de Newton te permite escribir

$\displaystyle mg - 0,1 v = m a = m \frac{dv}{dt},$

y esta ecuación diferencial la puedes integrar fácilmente separando variables; no te dicen ninguna condición inicial para poder calcular la constante de integración, pero lo más sensato es suponer que la velocidad era nula en el origen de tiempos.

Para la velocidad límite, puedes proceder de dos maneras:

1. Haces $\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} v(t)$,
2. Cuando el cuerpo alcanza la velocidad límite, esto será porque se han igualado el peso y la fuerza resistente, es decir, la fuerza neta es nula: aceleración nula, velocidad constante.

Por tanto

$\displaystyle mg - 0,1 v_\text{lim} = 0 \Rightarrow \boxed{v_\text{lim}} = \frac{mg}{0,1} = 10 mg = 10 \cdot 1 \cdot 9,8 = \boxed{98 \frac{\text{m}}{\text{s}}.}$

Saludos.

[neometalero]

Re: Dinámica, problema muy extraño

Este es el típico caso de un cuerpo en caída libre sometido al peso y una fuerza de arrastre , o resistente, que se opone al movimiento y cuya forma genérica es F=-bv para velocidades bajas pero cuya forma para velocidades altas se complica bastante, incluyendo la densidad del fluido, la sección, un coeficiente aerodinámico y además la velocidad al cuadrado.
En este caso la ecuacion de la dinámica establece que:

$$P-E+F_a=ma$$

donde E es el empuje del fluido y vale -m'g porque la masa m' es la del fluido desalojado y no tiene porqué coincidir con m. Despejando la aceleración queda:

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{g(m-m')-bv}{m}$$

Si es una caída libre, la velocidad inicial es nula y la aceleración vale:

$$a=g(1-\frac{m'}{m})$$

La velocidad límite o terminal (es constante) se consigue cuando la aceleración es nula y su valor es:

$$v_t=\frac{(m-m')g}{b}$$

La ecuación para la velocidad (ecuación diferencial) tiene la expresión genérica siguiente:

$$v=\frac{(m-m')g}{b}(1-exp{\frac{-bt}{m}})$$

Espero haberte ayudado, agradecer es gratis!! jejeje

[rosaleda]

Re: Dinámica, problema muy extraño

Muchas gracias a los dos! La verdad qeu se me antojaba un poco difícil de razonar, sobre todo porque por enfermedad había faltado a las clases de este tema, y puede que hayan explicado algo sobre ello. Muchas gracias por las respuestas, me han sido de gran ayuda!

[nacho_loco]

Re: Dinámica, problema muy extraño

Haber no veo como se resuelve la ecuacion diferencial: mg-0,1v=ma=mdv/dt, y creo que es ahi donde tengo el problema, pues llevo rato intentandolo y nunca llego a la expresion que esta puesta como la sulucion, alguien me ayuda??

[neometalero]

Re: Dinámica, problema muy extraño

Diselo a un matematico jejeje, las ecuaciones diferenciales en fisica se tocan poco, dificil es tenerlas frescas, yo lo he buscado porque es un problema que tenia resuelto. Solucionarla no es dificil si sabes identificar que tipo de ecuacion es. Una vez hecho eso, identificaras el tipo de solucion general que le sirve, poco mas te puedo decir por ahora.

[Metaleer]

Re: Dinámica, problema muy extraño

Haber no veo como se resuelve la ecuacion diferencial: mg-0,1v=ma=mdv/dt, y creo que es ahi donde tengo el problema, pues llevo rato intentandolo y nunca llego a la expresion que esta puesta como la sulucion, alguien me ayuda??

Veamos.

$\displaystyle mg - 0,1 v = m \frac{dv}{dt},$

se trata de una ecuación diferencial de variables separables. Lo que se hace en estas ecuaciones es intentar aislar los diferenciales con las correspondientes funciones en cada miembro para realizar la integración (para ver el porqué riguroso de esto, mira aquí). En este caso,

$\displaystyle mg - 0,1 v = m \frac{dv}{dt} \Rightarrow \frac{dv}{mg - 0,1 v} = \frac{dt}{m} \Rightarrow \int \frac{dv}{mg - 0,1 v} = \int \frac{dt}{m} \Rightarrow \frac{1}{-0,1} \ln (mg - 0,1 v) = \frac{t}{m} + C,$

y de aquí despejas $v$ para tenerla en función del tiempo; la constante de integración la calculas como dije imponiendo la condición inicial de $v(0) = 0$.

Alternativamente, si reorganizas la ecuación como

$\displaystyle mg = m \frac{dv}{dt} + 0,1 v \Rightarrow \frac{dv}{dt} + \frac{0,1}{m} v = g \Rightarrow v'(t) + \frac{0,1}{m} v = g,$

verás que se trata de ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de coeficientes constantes. El primer paso es resolver la ecuación diferencial homogénea asociada, y el segundo es buscar una solución particular de la ecuación completa; verás que te va a dar lo mismo que separando variables.

Diselo a un matematico jejeje, las ecuaciones diferenciales en fisica se tocan poco, dificil es tenerlas frescas, yo lo he buscado porque es un problema que tenia resuelto. Solucionarla no es dificil si sabes identificar que tipo de ecuacion es. Una vez hecho eso, identificaras el tipo de solucion general que le sirve, poco mas te puedo decir por ahora.

Totalmente falso, a mi parecer. En casi _TODAS_ las ramas de la Física aparecen ecuaciones diferenciales (Mecánica Clásica - 2a Ley de Newton, Electromagnetismo y Electrodinámica - Ecuaciones de Laplace y Poisson, y la ecuación de ondas, Termodinámica - La ecuación de calor, Mecánica Cuántica - Ecuación de Schrodinger), y aunque a veces no se resuelven a mano, hay que tener un poco de intuición física para poder saber cómo podrían ser las soluciones. Es verdad que el problema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales, un físico rara vez se preocupa por ello, pero lo que es la resolución y obtener información física apartir de la solución y la propia ecuación diferencial es algo que se hace a menudo, como en el estudio de los Sistemas Dinámicos.

Si bien es cierto que con el tiempo, las cosas se olvidan, a este nivel (que parece que es de primero de carrera) debes dominar la resolución de las ecuaciones fáciles (separables, lineales de coeficientes constantes, las no lineales de primer orden clásicas tipo Bernoulli, Riccati, Lagrange, etc...).

Saludos.

[neometalero]

Re: Dinámica, problema muy extraño

Ojo, yo no hablo de que no aparezcan en fisica sino que se dan en la carrera de paso, al menos aqui, donde yo estudie, eran dos temas de una asignatura de 2º y nunca mas las volvi a ver. Dedicando esas horas, dificilmente se puede saber mucho de algo, eso es lo que queria decir.

[Metaleer]

Re: Dinámica, problema muy extraño

Ojo, yo no hablo de que no aparezcan en fisica sino que se dan en la carrera de paso, al menos aqui, donde yo estudie, eran dos temas de una asignatura de 2º y nunca mas las volvi a ver. Dedicando esas horas, dificilmente se puede saber mucho de algo, eso es lo que queria decir.

Pues no sé, eso está muy mal. Se debe dar por lo menos una asignatura ó dos enteras de Ecuaciones Diferenciales. Ya te digo, es algo importante.

[neometalero]

Re: Dinámica, problema muy extraño

Es importante si, pero hay tantas herramientas matematicas importantes que se deben dar, asi como la programacion, pero la carrera tiene los creditos que tiene, y hacerla de 600 seria un f***** hell jejeje