1r ciclo Una curiosa cadena

[neometalero]

Una cadena flexible y homogénea, de longitud L, se encuentra inicialmente en reposo sobre una mesa horizontal, colgando una longitud b de la cadena por fuera del borde de la mesa (sobre la mesa descansa una longitud (L-b)). Determinar la velocidad de la cadena en el instante de abandonar completamente la mesa.
A mi no me ha salido, ni por segunda ley de Newton ni por conservación del momento M, no se qué hacer, demasiado abstracto quizás para mi.

[Stormkalt]

Re: Una curiosa cadena

Hola neometalero:

En el momento en que la cadena abandona completamente la mesa cayó una altura $L-b$
Si el rozamiento es nulo será una caída libre, de modo que la velocidad será:

$<br /> v = \sqrt[]{2g(L-b)}<br />$

Saludos

[neometalero]

Re: Una curiosa cadena

Siento chafarte la respuesta, no es esa. Tengo la respuesta pero no llego a ella, es algo mas compleja.

[pod]

Re: Una curiosa cadena

La masa colgante sería m b/L. Si tomamos la como origen de potencial, podemos considerar que toda esa masa está condensada en su CDM, que está en -b/2 (la parte de la cadena que está sobre la masa no tiene energía potencial, está en el origen). Después de caer, toda la masa de la cadena se puede considerar condensada en su CDM, en -L/2. Por lo tanto,

$$m\frac b L \, g \left( - \frac b 2\right) = m g\left( - \frac L 2\right) + \frac12 m v^2 \ .$$

Si no me equivoco, de ahí debería salir el resultado

$$v^2 = g L \left( 1 - \frac{b^2}{L^2} \right) .$$

[neometalero]

Re: Una curiosa cadena

jajajaja, menudo crack!! jugon!! jugon!! jugon!!
Gracias pod, sabía que era algo más rebuscado.

[Stormkalt]

Re: Una curiosa cadena

Era más complicado de lo que pensé

[Metaleer]

Re: Una curiosa cadena

Otro método, no basado en energías sino en la segunda Ley de Newton.

El peso de la parte que cuelga es la responsable de tirar de toda la cadena; si $x$ es la longitud de la cadena que cuelga del borde de la mesa en un instante dado, la masa que cuelga es $\lambda x$, y este peso actúa para acelerar toda la cadena. De esta manera

$\displaystyle \overbrace{\lambda x}^\text{masa} g = \underbrace{\lambda L}_\text{Masa} \frac{d^2 x}{dt^2} = \lambda L \frac{dv}{dt} \Rightarrow x g = L \frac{dv}{dt}.$

Ahora bien, la regla de la cadena del Cálculo Diferencial nos dice que

$\displaystyle \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx},$

así que

$\displaystyle x g = L \frac{dv}{dt} \Rightarrow x g = L v \frac{dv}{dx} \Rightarrow \frac{g}{L} x dx = v dv,$

e integrando

$\displaystyle \frac{g}{L} \int_b^{L} x dx = \int_0^{v_f} v dv \Rightarrow \frac{v^2_f}{2} = \frac{g}{2 L} (L^2 - b^2) \Rightarrow v^2_f = \frac{g}{L} (L^2 - b^2) \Rightarrow$

$\displaystyle v^2_f = gL \left (1 - \frac{b^2}{L^2} \right) \Rightarrow \boxed{v_f = \sqrt{gL \left (1 - \frac{b^2}{L^2} \right)},}$

que es justo lo que le da a pod.

Hemos podido suponer densidad lineal de masa constante ya que el enunciado dice que es una cadena homogénea.

Saludos.