Secundaria Energía Cinética = Trabajo Total

Hola, me gustaria saber la demostracion física (No matemática) de por qué la Energía cinética es igual al trabajo total.

Saludos.

[Metaleer]

Re: Energía Cinética = Trabajo Total

Hola.

La energía cinética no es igual al trabajo total, pero la variación de la energía cinética que experimenta un cuerpo sí es igual al trabajo que realizan las fuerzas que actúan sobre ese cuerpo.

No sé qué quieres decir con una demostración física, y no matemática; la demostración que se suele dar en la bibliografía es la siguiente.

$\displaystyle W = \int_\mathcal{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},$

pero $\mathbf{F} = m \mathbf{v}'(t)$, y $d \mathbf{r} = \mathbf{r}'(t) dt$, luego se tiene la siguiente cadena de igualdades

$\displaystyle\mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = m \mathbf{v}'(t) \cdot \overbrace{\mathbf{r}'(t)}^{\mathbf{v}(t)} dt = m \frac{1}{2} \frac{d}{dt}(\mathbf{v}(t) \cdot \mathbf{v} (t)) dt = m \frac{1}{2}\frac{d}{dt} (v^2 (t)) dt,$

así que

$\displaystyle \boxed{W} = \int_\mathcal{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \int_{t_1}^{t_2} m \frac{1}{2}\frac{d}{dt} (v^2 (t)) dt = \boxed{\frac{1}{2} m (v^2(t_2) - v^2(t_1)) = \Delta E_c.}$

Ya sé que el nivel que has solicitado es de Secundaria, pero es que la demostración es esa. Total, creo que un alumno de bachillerato avispado lo puede entender...

¿Qué has querido decir con "demostración física"? ¿Algún sistema donde se cumple? Lo puedes probar en los sistemas conservativos, donde se cumple el Principio de Conservación de la Energía Mecánica.

Saludos.

[MCc]

Re: Energía Cinética = Trabajo Total

Mas o menos todas esas operaciones las entiendo, lo que busco es una explicacion parecida a la del trabajo, es decir, el trbajo es el área bajo la funcion del desplazamiento, pues quiero saber a que equivaldia la energia cinetica en este caso y porque se aplica la integral.

Saludos.

[Metaleer]

Re: Energía Cinética = Trabajo Total

Mas o menos todas esas operaciones las entiendo, lo que busco es una explicacion parecida a la del trabajo, es decir, el trbajo es el área bajo la funcion del desplazamiento, pues quiero saber a que equivaldia la energia cinetica en este caso y porque se aplica la integral.

Saludos.

Bueno, supongo que lo que dices es que en una dimensión,

$\displaystyle W = \int_{x_1}^{x_2} F (x) dx,$

es decir, que si pintas la fuerza en una gráfica fuerza-desplazamiento, el área encerrada bajo la curva y el eje de abscisas representa el trabajo; aquí sigue valiendo el Teorema de las Fuerzas Vivas (así se llama lo que te demostré en mi primer mensaje del hilo), y la integral se aplica porque es que eso es justamente la definición de trabajo que realiza una fuerza.

Saludos.

[Ulises7]

Re: Energía Cinética = Trabajo Total

Hola.

La energía cinética no es igual al trabajo total, pero la variación de la energía cinética que experimenta un cuerpo sí es igual al trabajo que realizan las fuerzas que actúan sobre ese cuerpo.

No sé qué quieres decir con una demostración física, y no matemática; la demostración que se suele dar en la bibliografía es la siguiente.

$\displaystyle W = \int_\mathcal{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},$

pero $\mathbf{F} = m \mathbf{v}'(t)$, y $d \mathbf{r} = \mathbf{r}'(t) dt$, luego se tiene la siguiente cadena de igualdades

$\displaystyle\mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = m \mathbf{v}'(t) \cdot \overbrace{\mathbf{r}'(t)}^{\mathbf{v}(t)} dt = m \frac{1}{2} \frac{d}{dt}(\mathbf{v}(t) \cdot \mathbf{v} (t)) dt = m \frac{1}{2}\frac{d}{dt} (v^2 (t)) dt,$

así que

$\displaystyle \boxed{W} = \int_\mathcal{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \int_{t_1}^{t_2} m \frac{1}{2}\frac{d}{dt} (v^2 (t)) dt = \boxed{\frac{1}{2} m (v^2(t_2) - v^2(t_1)) = \Delta E_c.}$

Ya sé que el nivel que has solicitado es de Secundaria, pero es que la demostración es esa. Total, creo que un alumno de bachillerato avispado lo puede entender...

¿Qué has querido decir con "demostración física"? ¿Algún sistema donde se cumple? Lo puedes probar en los sistemas conservativos, donde se cumple el Principio de Conservación de la Energía Mecánica.

Saludos.

Metaleer como te pasas con el chico/a , llámame tonto porque no lo acabo de comprender totalmente , es que no acabo de entender esa v'(t), ¿velocidad en función del tiempo? por lo que veo asi se puede representar a la aceleración... no lo sabía , pero no acabo de entender el 1/2 ni las derivadas que pones al comienzo, a partir de alli es mecánico.


Tengo una explicación algo más sencilla:

Sólo tenemos que recordar un par de cosas, como por ejemplo que:

$\displaystyle v^2 - v^2_0 = 2a\Delta x \rightarrow a = \frac{v^2 - v^2_0}{2 \Delta x}$ ( véase Introducción a cinemática III )

Y por la definición de trabajo:

$\displaystyle W = F \Delta x = m a \Delta x = \frac{m(v^2 - v^2_0)\Delta x}{2 \Delta x} = \frac{m(v^2 - v^2_0)}{2}$

$\displaystyle W = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv^2_0}{2}$

y sabiendo que:

$E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$

$\displaystyle \boxed{W = E_c - E_{c0} = \Delta E_c}$

Algo más sencillo que esto no sé si lo hay...


Saludos

[Metaleer]

Re: Energía Cinética = Trabajo Total

Metaleer como te pasas con el chico/a , llámame tonto porque no lo acabo de comprender totalmente , es que no acabo de entender esa v'(t), ¿velocidad en función del tiempo? por lo que veo asi se puede representar a la aceleración... no lo sabía , pero no acabo de entender el 1/2 ni las derivadas que pones al comienzo, a partir de alli es mecánico.


Tengo una explicación algo más sencilla:

Sólo tenemos que recordar un par de cosas, como por ejemplo que:

$\displaystyle v^2 - v^2_0 = 2a\Delta x \rightarrow a = \frac{v^2 - v^2_0}{2 \Delta x}$ ( véase Introducción a cinemática III )

Y por la definición de trabajo:

$\displaystyle W = F \Delta x = m a \Delta x = \frac{m(v^2 - v^2_0)\Delta x}{2 \Delta x} = \frac{m(v^2 - v^2_0)}{2}$

$\displaystyle W = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv^2_0}{2}$

y sabiendo que:

$E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$

$\displaystyle \boxed{W = E_c - E_{c0} = \Delta E_c}$

Algo más sencillo que esto no sé si lo hay...


Saludos

Sí, lo que pasa es que tienes $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$, es decir, que el vector de posición de la partícula es una función del tiempo. El objetivo es poner todo en función del vector velocidad, para poder tener ahí algo que al final quede en función de la velocidad, que es lo que buscamos porque sabemos de antemano lo que debe dar. Ya sabes, $\displaystyle \mathbf{v}'(t) = \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \mathbf{a}$.

La razón del $1/2$ es la siguiente, tienes $\mathbf{v}'(t) \cdot \mathbf{v}(t)$, y por otro lado, $\displaystyle \frac{d}{dt} (\overbrace{\mathbf{v}(t) \cdot \mathbf{v}(t)}^{v^2(t)}) = \mathbf{v}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{v}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) = 2 \mathbf{v}'(t) \cdot \mathbf{v}(t)$, y por tanto $\displaystyle \mathbf{v}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} (v^2(t))$ y tener en cuenta que integral de una función derivada = esa función que se deriva.

Lo que tú has puesto es una forma de probar que el Teorema de las Fuerzas Vivas se sigue cumpliendo para el MRUA.

Saludos.

[Ulises7]

Re: Energía Cinética = Trabajo Total

Sí, lo que pasa es que tienes $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$, es decir, que el vector de posición de la partícula es una función del tiempo. El objetivo es poner todo en función del vector velocidad, para poder tener ahí algo que al final quede en función de la velocidad, que es lo que buscamos porque sabemos de antemano lo que debe dar. Ya sabes, $\displaystyle \mathbf{v}'(t) = \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \mathbf{a}$.

La razón del $1/2$ es la siguiente, tienes $\mathbf{v}'(t) \cdot \mathbf{v}(t)$, y por otro lado, $\displaystyle \frac{d}{dt} (\overbrace{\mathbf{v}(t) \cdot \mathbf{v}(t)}^{v^2(t)}) = \mathbf{v}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{v}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) = 2 \mathbf{v}'(t) \cdot \mathbf{v}(t)$, y por tanto $\displaystyle \mathbf{v}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} (v^2(t))$ y tener en cuenta que integral de una función derivada = esa función que se deriva.

Lo que tú has puesto es una forma de probar que el Teorema de las Fuerzas Vivas se sigue cumpliendo para el MRUA.

Saludos.

Vale ya lo entiendo , ¿aún puedo ser avispado? jajaja


Saludos

[Metaleer]

Re: Energía Cinética = Trabajo Total

Vale ya lo entiendo , ¿aún puedo ser avispado? jajaja


Saludos

Por supuesto.

[pod]

Re: Energía Cinética = Trabajo Total

Hola, me gustaria saber la demostracion física (No matemática) de por qué la Energía cinética es igual al trabajo total.

Saludos.

En el fondo, no existe demostración porque es una definición. La igualdad que propones es consecuencia directa de la definición de trabajo.

La idea que hay detrás de todo esto, sin usar formulas, es la siguiente: como sabes, el una fuerza aporta trabajo a un cuerpo cuando, bajo su aplicación, causa que éste se desplace. La energía asociada a un cuerpo que se está desplazando es precisamente la energía cinética. Por lo tanto, es lógico que ambos conceptos estén estrechamente relacionados. Si un cuerpo tiene energía cinética, es por que alguien en el pasado le aportó dicha energía en forma de trabajo.