1r ciclo La bola y el plano

[neometalero]

Una bola inicia su caída vertical desde el reposo, sobre un plano inclinado liso, que forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Después de cubrir la altura h, rebota elásticamente en el plano. A qué distancia del primer impacto rebota la segunda vez?
La verdad es que no visualizo la situación y supongo que debo usar conservación de energía más cinemática pero no me sale. Creo que necesito el dibujo correcto.

[pod]

Re: La bola y el plano

Aquí tienes el dibujo.

Piensa que el primer rebote cumple la "ley de la reflexión".

[neometalero]

Re: La bola y el plano

Efectivamente, lo que yo pensaba no era un dibujo así jeje, gracias, espero que ahora sí salga.

[neometalero]

Re: La bola y el plano

Pues no, sigue sin salir asi que lo dejo. Emplearé mi tiempo en otros problemitas, gracias =mente pod.

[ser humano]

Re: La bola y el plano

podes poner la energia potencial cero en la horizontal donde impacta por primera vez, luego planteas que toda la energia potencial se transforma en cinetica para el primer impacto. como el choque es elastico la energia se conserva, y un instante despues del impacto la unica energia que tendra sera la cinetica, con esto hallas el modulo de la velocidad con que la pelota sale luego del impacto. aca lo que faltaria seria la direccion del vector velocidad, si es aplicable la ley de la reflexion (que hasta donde yo comprendia solo valia para la luz, pero aparentemente por lo que ha dicho pod no es asi), con eso la puedes hallar.
despues solo es un movimiento parabolico (si quieres puedes hacer la funcion correspondiente a este movimiento, la recta correspondiente al plano y hacer un sistema de ecuaciones para ver en que punto intersecan)

[neometalero]

Re: La bola y el plano

Ya había hecho todo lo que decías excepto eso de la intersección de las rectas, voy a probar. Supongo que te referirás a la ecuación de la recta diagonal del plano y la de la componente x espacial del movimiento.

[pod]

Re: La bola y el plano

si es aplicable la ley de la reflexion (que hasta donde yo comprendia solo valia para la luz, pero aparentemente por lo que ha dicho pod no es asi), con eso la puedes hallar.

¿Nunca has jugado al billar? Una colisión con un objeto plano de masa infinita (no se puede mover), como este plano inclinado o una banda de una mesa de billar, cumple la ley de la reflexión. Es fácil de demostrar, te lo dejo como ejercicio para casa, sh.


En este caso, si uno pone el origen de coordenadas justo en el punto del primer rebote, la condición a imponer es $y = - x \tan \alpha$. Esta es la condición "suelo" para un plano inclinado (fíjate que se reduce a y = 0 si el plano es horizontal, $\alpha = 0$, que es lo más normal).

[neometalero]

Re: La bola y el plano

Mmmmm interesante...

[ser humano]

Re: La bola y el plano

¿Nunca has jugado al billar? Una colisión con un objeto plano de masa infinita (no se puede mover), como este plano inclinado o una banda de una mesa de billar, cumple la ley de la reflexión. Es fácil de demostrar, te lo dejo como ejercicio para casa, sh.

claro, pero no sabia si se cumplia estrictamente la ley o variaban los angulos por algun otro motivo. gracias

[neometalero]

Re: La bola y el plano

La verdad es que ni con esas me ha salido, está claro que el camino que sigo no es el correcto porque es de cinemática y no puede ser tan compleja la cosa.

[pod]

Re: La bola y el plano

Bueno, está claro que el módulo de la velocidad cuando llega al primer bote es

$$v = \sqrt{2 g h}\ .$$

Por todos los razonamientos anteriores, a la salida del primer bote el módulo es el mismo, y el vector estará inclinado un ángulo $2\alpha$ respecto de la vertical. O sea,

$$\vec v_0 = \sqrt{2 g h} ( \sin 2\alpha,\ \cos 2\alpha) \ .$$

Por lo tanto, la ecuación del movimiento será

$$\begin{aligned}<br /> x & = \sqrt{2 g h} \sin 2\alpha t \ , \\<br /> y & = \sqrt{2 g h} \cos 2\alpha t - \frac12 g t^2 \ .<br /> \end{aligned}$$

De la primera, podemos aislar el tiempo. Substituyendolo en la segunda tenemos

$$<br /> y = x \mathop{\mathrm{cotg}} 2\alpha - \dfrac{x^2}{4 h \sin^2 2\alpha} \ .<br />$$

Cuando la pelota llega al suelo, se cumple $y = - x\mathop{\mathrm{tg}} \alpha$, lo que nos permite substituir en la ecuación anterior. Cancelando una x (la solución x = 0 no nos interesa), tenemos

$$-\mathop{\mathrm{tg}}\alpha = \mathop{\mathrm{cotg}} 2\alpha - \dfrac{x}{4 h \sin^2 2\alpha} \ ,$$

con lo que

$$\begin{aligned}<br /> x & = 4 h \sin^2 2\alpha \Big( \mathop{\mathrm{cotg}} 2\alpha + \mathop{\mathrm{tg}}\alpha \Big) \\<br /> &= 4 h \sin 2\alpha\Big( \cos 2\alpha + \sin2\alpha \mathop{\mathrm{tg}}\alpha \Big) \\<br /> &= 4 h \sin 2\alpha\Big( \cos^2\alpha - \sin^2 \alpha+2 \sin\alpha \cos\alpha \mathop{\mathrm{tg}}\alpha \Big) \\<br /> &= 4 h \sin 2\alpha\Big( \cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha\Big) \\<br /> & = 4 h \sin 2\alpha \ .<br /> \end{aligned}$$

Y la componente vertical será

$$y = - 4 h \sin 2\alpha\mathop{\mathrm{tg}}\alpha\ .$$

Si suponemos que con distancia se refiere "en diagonal", la respuesta al problema será

$$d = \sqrt{x^2 + y^2} = 4 h \dfrac{\sin 2\alpha}{\cos \alpha}= 8 h \sin\alpha\ .$$

[Gonzalo]

Re: La bola y el plano

Creo que primero va rodando en un plano inclinado, luego impacata en un plano ke se encuentra paralelo al suelo. En este caso influiria la inercia, ya que iría girando. El choque con el piso se haría con conservación de momentum, para despues usar cinemática. En el caso de que fuera un cuerpo ... ¿Es una esfera, un cascarón o sólo una partícula?

[neometalero]

Re: La bola y el plano

ayyyyy pod que bueno eres pero no, esa no es la respuesta, es casi la misma, pero falta un factor dividiendo. ayyyyy casi jajaja menudo crack estas hecho. Este problema esta en cinematica jaja, como si fuera sencillo madre mia, ya podia yo dar vueltas y aun me falta un factor en el denominador.

[pod]

Re: La bola y el plano

ayyyyy pod que bueno eres pero no, esa no es la respuesta, es casi la misma, pero falta un factor dividiendo. ayyyyy casi jajaja menudo crack estas hecho. Este problema esta en cinematica jaja, como si fuera sencillo madre mia, ya podia yo dar vueltas y aun me falta un factor en el denominador.

He repasado los cálculos con Mathematica y parecen ser correctos.

[Jose D. Escobedo]

Re: La bola y el plano

ayyyyy pod que bueno eres pero no, esa no es la respuesta, es casi la misma, pero falta un factor dividiendo. ayyyyy casi jajaja menudo crack estas hecho. Este problema esta en cinematica jaja, como si fuera sencillo madre mia, ya podia yo dar vueltas y aun me falta un factor en el denominador.

Yo tambien he checado el resultado dos veces y me parece que el que esta en un error es tu libro, si fue sacado de un libro y en el libro se te asegura que el resultado esta bien, creo que devieras considerar depositarlo en la basura.

O puede ocurrir que te hayas equivocado al copear textualmente el problema.

Ese podria ser un "typo" no crees, creo que pod esta en lo correcto.