Otras carreras Ondas

[Nachop]

Una cuerda de largo $L$ y masa $M$ se sujeta de un extremo y se hace girar (como un aspa de helicóptero) con una frecuencia angular $\omega_0$. Demuestre que la velocidad de propaganación para ondas transversales a lo largo de la cuerda es: $v(x)=\dfrac{\omega_0}{\sqrt2}\sqrt{L^2-x^2}$, donde $x$ es la distancia a lo largo de la cuerda medida desde el eje de giro

Esto hice yo, como $v(x)=\sqrt{\dfrac{T(x)}{\mu}}$ donde $T(x)$ es la tensión y $\mu$ la densidad lineal. Para un segmento de esta cuerda de largo $x$, su masa es $\dfrac{Mx}{L}$, y su centro de masas está en $x/2$, entonces:

$T(x)=\dfrac{Mx}{L} \cdot \omega_0^2\dfrac{x}{2}$

Entonces la velocidad es: $v(x)=\dfrac{\omega_0x}{\sqrt{2}}$

Lo cual es bastante distinto a lo que hay que llegar, no sé en qué me estoy equivocando, si me pudiesen ayudar se los agradecería mucho

P.D: Disculpen si este tema no debía ir acá, pero no sabía dónde más postearlo

[pod]

Re: Ondas

Una cuerda de largo $L$ y masa $M$ se sujeta de un extremo y se hace girar (como un aspa de helicóptero) con una frecuencia angular $\omega_0$. Demuestre que la velocidad de propaganación para ondas transversales a lo largo de la cuerda es: $v(x)=\dfrac{\omega_0}{\sqrt2}\sqrt{L^2-x^2}$, donde $x$ es la distancia a lo largo de la cuerda medida desde el eje de giro

Esto hice yo, como $v(x)=\sqrt{\dfrac{T(x)}{\mu}}$ donde $T(x)$ es la tensión y $\mu$ la densidad lineal. Para un segmento de esta cuerda de largo $x$, su masa es $\dfrac{Mx}{L}$, y su centro de masas está en $x/2$, entonces:

Hasta aquí bien, luego ya no. Tienes que dividir la cuerda en diferenciales de masa. Cada diferencial de masa es estirado por la tensión en cada uno de sus extremos, así que la segunda ley de Newton nos dice

$$T(x+\dd x) - T(x) = - \dd m \omega^2 x \ .$$

El signo negativo es porque la aceleración va dirigida hacia el centro. En el limite $\dd x \to o$, tendremos por el teorema de Taylor

$$T(x+\dd x) = T(x) + \frac{\dd T}{\dd x} \ \dd x \ .$$

Por lo tanto, la ecuación anterior quedará

$$\dd T = - \mu \dd x \omega^2 x \ .$$

Esta ecuación diferencial es muy sencilla. La condición de contorno es que en x = L no hay tensión (no hay más cuerda que estirar), por lo que

$$\int_{0}^T \dd T = - \mu \omega^2 \int_L^x x\dd x\ .$$

Creo que así debería salirte.

[Nachop]

Re: Ondas

Muchas gracias pod!! Todo lo físico me quedo muy claro, pero aprovecho de matar 2 pájaros de un tiro, y hacerte una duda matemática, ya que mi profesor también ocupó el truco de usar Taylor, pero no me calza con la definición que conozco de esta serie

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Pero si desarrollo los 2 primeros términos, y adaptándolo al problema

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

No veo cómo puedo llegar a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos y gracias como siempre

[pod]

Re: Ondas

Muchas gracias pod!! Todo lo físico me quedo muy claro, pero aprovecho de matar 2 pájaros de un tiro, y hacerte una duda matemática, ya que mi profesor también ocupó el truco de usar Taylor, pero no me calza con la definición que conozco de esta serie

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Pero si desarrollo los 2 primeros términos, y adaptándolo al problema

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

No veo cómo puedo llegar a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos y gracias como siempre

Es que en este caso $x_0 = x$.

No es que sea un truco usar Taylor. De hecho, esa diferencia es precisamente la definición de diferencial. Pero a menudo suena más simple hablar de Taylor que invocar la diferencial directamente.

[AfaChile]

Re: Ondas

Muchas gracias pod.

esta muy clara la resolución del problema.

[Nachop]

Re: Ondas

Gracias pod!!