Secundaria M.A.S ¿Resolución correcta?

[Uranio]

El otro día, pensando sobre el m.a.s planteé un problema al que le dí la siguiente solución y querría saber si la forma de reolverlo es correcta:

Calcular el instante en el cual el cuerpo viaja a la mitad de la velocidad máxima, si recorre un m.a.s. (movimiento armónico simple) y su ecuación es la siguiente:$y=2.\sin(20\pi t + 3\pi/2)$

De esta ecuación podemos obtener que:
$A=2 m$
$\phi_0=3\pi/2 rad$
$\omega=20\pi rad/s$

Sabeindo que la velocidad ( $v= A.\omega.\cos(\omega t + \phi_0)$) es máxima cuando el coseno de la fase es igual a 1 ( $\cos(\omega t + \phi_0)=1$) pues la amplitud y la frecuencia angualr o pulsación siguen constante durante el movimiento del cuerpo.

Por tanto la [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Deduciéndose que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Igualando ambas espresiones obtenemos que: $1/2=\cos(\omega t + \phi_0)$
Sustituyendo por los valores: $1/2=\cos(20\pi t + 3\pi/2)$

Entonces me planteé el siguiente problema, el $Arc Cos (1/2)=\pi/3$ pero si tomaba este valor el valor del tiempo salía negativo al resolver la ecuación.

Mi profesor de física siempre dice que cojamos el valor del ángulo más bajo como resultado de una ecuación trignométrica del m.a.s., pero en este caso, no me puedo quedar con un tiempo negativo, así que cogería el otro valor que se obtiene: $Arc Cos (1/2)=2\pi - \pi/3$

Tomándolo así el tiempo se sale posistivo.

¿Esta resolución del problema sería considerada correcta? ¿Habría otra forma de evitar este tiempo negativo?
Personalmente creo que sí es correcta.

Muchas gracias

[[Beto]]

Re: M.A.S ¿Resolución correcta?

Hola, esta bien asi como lo has hecho, cuando encuentras la solución para la función arcocoseno en el dominio de la funcion la solución es $\pi/3$, no podria tomar otro valor, pero para este caso como el movimiento es oscilatorio, entonces la solución que se toma es $2k\pi\pm\pi/3=\theta$, para que sea fisicamente coherente, asi como has hecho.

[Uranio]

Re: M.A.S ¿Resolución correcta?

Muchas gracias por tu respuesta. ¡Por fín puedo dejar a un lado mis comeduras de cabeza! Por lo menos durante un tiempo...

[lucass]

Re: M.A.S ¿Resolución correcta?

Fijate que también podés hacer esto: como $x=A sin (\omega t + \frac {3 \pi}{2})=-A cos (\omega t)$ entonces te olvidás de la fase inicial
$v(t)=A \omega sin (\omega t)$
La condición del problema queda $sin (\omega t)= \frac 1 2$ y la primera solución es $\omega t= \frac \pi 6$ (la cual da el mismo t positivo que dijiste en tu mensaje).
Pero claro que este no es el único momento (sí es el primero) donde alcanza dicha rapidez, sino que hay cuatro momentos en cada oscilación completa donde esto ocurre, pues la velocidad máxima es en realidad +/- $\omega A$, así que los t para los cuales $sin (\omega t) = - \frac 1 2$ también son solución.
Saludos

[Uranio]

Re: M.A.S ¿Resolución correcta?

Fijate que también podés hacer esto: como $x=A sin (\omega t + \frac {3 \pi}{2})=-A cos (\omega t)$ entonces te olvidás de la fase inicial
$v(t)=A \omega sin (\omega t)$
La condición del problema queda $sin (\omega t)= \frac 1 2$ y la primera solución es $\omega t= \frac \pi 6$ (la cual da el mismo t positivo que dijiste en tu mensaje).
Pero claro que este no es el único momento (sí es el primero) donde alcanza dicha rapidez, sino que hay cuatro momentos en cada oscilación completa donde esto ocurre, pues la velocidad máxima es en realidad +/- $\omega A$, así que los t para los cuales $sin (\omega t) = - \frac 1 2$ también son solución.
Saludos

¡Oh! Muchas gracias por completar la respuesta, no había caído.

[pod]

Re: M.A.S ¿Resolución correcta?

Lo de quedarse con sólo un tiempo, o requerir que sea positivo, depende del problema.

En este caso, el MAS es un movimiento eterno. Cuando nosotros ponemos t = 0, simplemente estamos diciendo en qué momento empezamos a contar el tiempo. Pero en realidad, el oscilador ya lleva infinito tiempo oscilando, y seguirá haciéndolo infinito tiempo más. Así que aquí sí que vale poner tiempos negativos. De hecho, la respuesta correcta al problema es que hay infinitos instantes de tiempo en que la velocidad es la mitad de la total.

Hay otros problemas en que sólo hay que elegir un tiempo de los que matemáticamente aparecen en las ecuaciones. Un ejemplo son los típicos tiros parabólicos. Como salen ecuaciones cuadráticas, a menudo sale un tiempo positivo y otro negativo. Pero en este caso, t = 0 es el momento en que se lanza el móvil, así que el tiempo negativo no es posible.

Aunque muchos profesores caen en el vicio de dar reglas generales como esa, la verdad es que hay que ir caso por caso. Hay que considerar si, físicamente, tiene sentido o no dar un resultado, dos, o infinitos.