Otras carreras Oscilacione, un poco distinto

[Nachop]

Considere una masa $m$ resbalando sin roce (en presencua de la aceleración de gravedad) a lo largo del ferfil de la forma $f(x)=x^3-\dfrac{3<br /> }{2}x^2$ y esta función está en metros. Si la masa realiza pequeñas oscilaciones en torno al mínimo local, encuentre el periodo del tal movimiento

Lo que he hecho es lo siguiente

Si pongo mi origen de la energía potencial en x=0, entonces

$\dfrac{1}{2}m \left(\dfrac{dx}{dt} \right)^2-mgf(x)=E$

Derivando obtengo $m\dfrac{d^2x}{dt^2}-3mg(x^2-x)=0$

Pero esto no es un oscilador armónico, pienso que mi error puede estar en suponer que la velocidad es $dx/dt$. También intenté abordar el ejercicio por torque o usando el hecho que $F=-\dfrac{dU}{dx}$, pero no me creo mucho lo que hago jajaj

Muchas gracias de antemano por su ayuda

[alespa07]

Re: Oscilacione, un poco distinto

Considere una masa $m$ resbalando sin roce (en presencua de la aceleración de gravedad) a lo largo del ferfil de la forma $f(x)=x^3-\dfrac{3<br /> }{2}x^2$ y esta función está en metros. Si la masa realiza pequeñas oscilaciones en torno al mínimo local, encuentre el periodo del tal movimiento

Lo que he hecho es lo siguiente

Si pongo mi origen de la energía potencial en x=0, entonces

$\dfrac{1}{2}m \left(\dfrac{dx}{dt} \right)^2-mgf(x)=E$

Derivando obtengo $m\dfrac{d^2x}{dt^2}-3mg(x^2-x)=0$

Pero esto no es un oscilador armónico, pienso que mi error puede estar en suponer que la velocidad es $dx/dt$. También intenté abordar el ejercicio por torque o usando el hecho que $F=-\dfrac{dU}{dx}$, pero no me creo mucho lo que hago jajaj

Muchas gracias de antemano por su ayuda

Hola. Yo lo haría por energía potencial. Solo tienes que calcularla y recoradar que:

$T=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}$ con $\omega=\sqrt{\displaystyle\frac {K}{m}}=\sqrt{\displaystyle\frac{U''(x_0)}{m}}$


Siendo $x_0$ la coordenada del mínimo de energía para el cual calculas las pequeñas oscilaciones. Entonces, todo tu problema se resume a encontrar $U(x)$ y su mínino local y hallar $U''(x_0)$

Saludos.

[pod]

Re: Oscilacione, un poco distinto

Es que x = 0 no es un mínimo local, es un máximo local.

[Nachop]

Re: Oscilacione, un poco distinto

Es que x = 0 no es un mínimo local, es un máximo local.

alespa07 me iluminó y pude ver cómo puedo aplicar la fórmula general que obtuviste en un ejercicio anterior

Si mi origen de la energía potencial está en $f(1)$, que es dónde está el mínimo local, entonces la energía potencial viene dada por

$<br /> U(x) = \left| {f(1)} \right| - \left| {f(x)} \right| = \dfrac{1}<br /> {2} - \left| {f(x)} \right|<br />$

Pero para pequeñas oscilaciones $<br /> \forall x \in \left( {1 - \varepsilon ,1 + \varepsilon } \right) \Rightarrow \left| {f(x)} \right| = \frac{3}<br /> {2}x^2 - x^3<br />$, entonces $<br /> U(x) = \frac{1}<br /> {3} + x^3 - \frac{3}<br /> {2}x^2 \Rightarrow U''(x) = 6x - 3 \Rightarrow U''(1) = 3<br />$

Por lo tanto $<br /> \dfrac{{2\pi }}<br /> {T} = \left( {\dfrac{{U''(1)}}<br /> {m}} \right)^2 \Leftrightarrow T = \dfrac{2}<br /> {9}m^2 \pi<br />$

Ojalá esté bien

[Saplaya]

Re: Oscilacione, un poco distinto

[FONT=Times New Roman]Hola, pienso que por este camino se podrá resolver:[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si llamamos [/FONT][FONT=Verdana]$v(x)$ [/FONT][FONT=Times New Roman]al valor de la velocidad de la partícula en función de su coordenada “x“ y llamamos [FONT=Verdana]$v_x(x)$ [/FONT][/FONT]a la componente horizontal de dicha velocidad, como la velocidad $v(x)$ es tangente a la trayectoria, se cumplirá que
$v_x(x)=v(x)\cos \theta$

siendo $\tan \theta=f'$

Como $\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$

$\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{1+f'^2}}$

Luego
$v_x(x)=\frac{v(x)}{\sqrt{1+f'^2}}$

Si la energía total es E, se cumple que

$E=\frac{1}{2}mv^2(x)+mg(\frac{1}{2}+f)$

Y de aquí

$v(x)=\sqrt{\frac{2E}{m}-2g(\frac{1}{2}+f)}$

Sustituyendo en la expresión de $v_x(x)$

$v_x(x)=\frac{dx}{dt}=\frac{\sqrt{\frac{2E}{m}-2g(\frac{1}{2}+f)}}{\sqrt{1+f'^2}}$

$dt=\frac{\sqrt{1+f'^2}}{\sqrt{\frac{2E}{m}-2g(\frac{1}{2}+f)}}dx$

La integral entre $x_1$ y $x_2$ correspondera a medio periodo.

$x_1$ y $x_2$ son los valores en los que se cumple

$E=mg(\frac{1}{2}+f(x_1))$

$E=mg(\frac{1}{2}+f(x_2))$

Espero que sea de utilidad. Saludos

[Nachop]

Re: Oscilacione, un poco distinto

Bonito Saplaya! sólo un pequeño alcance con respecto al $h$ de tu energía potencial, podrías ver mi post anterior, me parece que esa es la altura correcta

El único problema es que la integral es realemnete fea y como no son conocidos los puntos $x_1$ y $x_2$, no se podría evaluar al final para tener una respuesta explícita. Además no sabría calcular el valor de $E$...

Per bonita forma de resolver el ejercicio, gracias

[Saplaya]

Re: Oscilacione, un poco distinto

Bonito Saplaya! sólo un pequeño alcance con respecto al $h$ de tu energía potencial, podrías ver mi post anterior, me parece que esa es la altura correcta

El único problema es que la integral es realemnete fea y como no son conocidos los puntos $x_1$ y $x_2$, no se podría evaluar al final para tener una respuesta explícita. Además no sabría calcular el valor de $E$...

Cierto, la altura estaba mal elegida, ya lo he cambiado.
Por cierto, la integral no es fea, es horrorosa, pero bueno, es lo que me ha salido.
Para el punto $x_1$ se puede elgir cualquiera, contra más se aproxime a x=1, más debería aproximarse el resultado al de tu post. El $x_2$ y E se obtienen a partir del $x_1$. En cualquier caso está claro que el objetivo del problema era el de ir a una solución conforme la tuya.
Hasta pronto

[Metaleer]

Re: Oscilacione, un poco distinto

alespa07 me iluminó y pude ver cómo puedo aplicar la fórmula general que obtuviste en un ejercicio anterior

Si mi origen de la energía potencial está en $f(1)$, que es dónde está el mínimo local, entonces la energía potencial viene dada por

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero para pequeñas oscilaciones [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por lo tanto [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ojalá esté bien

Vamos a ver, un par de cosillas. En principio, lo que es el origen de potenciales, es decir, donde tú tomas el potencial nulo no tiene que ser necesariamente donde se ubica el mínimo local. Recuerda, el objetivo, usando el desarrollo en serie de Taylor centrado en el mínimo local, es encontrar una función energía potencial del tipo

$\displaystyle U(x) = \frac{1}{2}k (x - x_0)^2 + A,$

ya que esta energía potencial es el que le corresponde a un oscilador armónico, que es lo que estás intentando buscar. Si derivas dos veces con respecto a $x$ esta energía potencial, obtienes $k$. Es decir, tienes que

$\displaystyle U(x) = U(x_0) + U'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}U''(x_0)(x-x_0)^2 \underbrace{+ \cdots}_\text{despreciamos}$

¿Qué pasa? Si centramos nuestro desarrollo en serie de Taylor en $x_0 = \text{m\'{i}nimo~local}$, $U'(x_0) = 0$ porque eso es precisamente lo que forzamos para encontrar los candidatos a extremo local. Luego quedaría

$\displaystyle U(x) \approx U(x_0) + \frac{1}{2!}U''(x_0)(x-x_0)^2,$

donde $U(x_0)$ es asimilable a la constante $A$ que puse antes. Derivando esta expresión dos veces con respecto a $x$ obtienes $k$ como dije antes; observa que el valor de $U(x_0)$ no es relevante, pues la primera derivación ya lo elimina.

Por otra parte, $U(x)$ no es la función que te dan, sino ésta multiplicada por $mg$.

Saludos.

[pod]

Re: Oscilacione, un poco distinto

alespa07 me iluminó y pude ver cómo puedo aplicar la fórmula general que obtuviste en un ejercicio anterior

Si mi origen de la energía potencial está en $f(1)$, que es dónde está el mínimo local, entonces la energía potencial viene dada por

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero para pequeñas oscilaciones [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por lo tanto [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ojalá esté bien

Te falta el factor mg en la energía potencial.

Luego, creo que has puesto el cuadrado al revés,

$$\omega^2 = \frac{U''(x_0)}{m} = \left( \frac{2\pi}{T} \right)^{\!\!2}\ .$$

[Jose D. Escobedo]

Re: Oscilacione, un poco distinto

El resultado que me dio fue de:

$\displaystyle T= \frac{2 \pi}{\sqrt{3g}}$

[Saplaya]

Re: Oscilacione, un poco distinto

El resultado que me dio fue de:

$\displaystyle T= \frac{2 \pi}{\sqrt{3g}}$

[FONT=Times New Roman]Lo cual supone T = 1,15820 s[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Yo he resuelto numéricamente la integral que obtuve en mi post, considerando [/FONT]

[FONT=Times New Roman]X1 = 0,95 y obtengo T = 1,15698 s lo cual no está nada mal.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Pero cuando el cálculo lo hago para X1 = 0,7 obtengo T = 1, 35274 s[/FONT]

[FONT=Times New Roman]es decir, la solución mediante el oscilador armónico, para este caso se empieza a alejar del valor real. La pregunta que me surge es:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Cuando uno se enfrenta a un problema real de este tipo y adopta la solución propuesta (oscilador armónico), ¿existe algún modo de acotar el error cometido?.[/FONT]

[pod]

Re: Oscilacione, un poco distinto

[FONT=Times New Roman]Lo cual supone T = 1,15820 s[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Yo he resuelto numéricamente la integral que obtuve en mi post, considerando [/FONT]

[FONT=Times New Roman]X1 = 0,95 y obtengo T = 1,15698 s lo cual no está nada mal.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Pero cuando el cálculo lo hago para X1 = 0,7 obtengo T = 1, 35274 s[/FONT]

[FONT=Times New Roman]es decir, la solución mediante el oscilador armónico, para este caso se empieza a alejar del valor real. [/FONT]

[FONT=Times New Roman]

¿Qué es X1?
[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Cuando uno se enfrenta a un problema real de este tipo y adopta la solución propuesta (oscilador armónico), ¿existe algún modo de acotar el error cometido?.[/FONT]

Variables acción-angulo, teoría de perturbaciones, etc.

[Saplaya]

Re: Oscilacione, un poco distinto

[FONT=Times New Roman]

¿Qué es X1?
[/FONT]

$dt=\frac{\sqrt{1+f'^2}}{\sqrt{\frac{2E}{m}-2g(\frac{1}{2}+f)}}dx$

La integral entre $x_1$ y $x_2$ correspondera a medio periodo.

$x_1$ y $x_2$ son los valores en los que se cumple

$E=mg(\frac{1}{2}+f(x_1))$

$E=mg(\frac{1}{2}+f(x_2))$

X1 es la coordenada x de la partícula cuando se deja caer. Cuando se resuelve la integral para X1= 0,95 el resultado coincide bastante bien con la aproximación mediante el oscilador armónico, pero cuando se resuelve para X1= 0,7 el resultado difiere de la aproximación mediante el oscilador armónico.

[Nachop]

Re: Oscilacione, un poco distinto

Te falta el factor mg en la energía potencial.

Luego, creo que has puesto el cuadrado al revés,

$$\omega^2 = \frac{U''(x_0)}{m} = \left( \frac{2\pi}{T} \right)^{\!\!2}\ .$$

Gracias pod!

El resultado que me dio fue de:

$\displaystyle T= \frac{2 \pi}{\sqrt{3g}}$

Qué procedimiento has ocupado?

[Jose D. Escobedo]

Re: Oscilacione, un poco distinto

Qué procedimiento has ocupado?

La recomendacion es la misma de siempre las leyes de Newton, la conservacion de la energia, hasta lagrarianos y otros que se olviden, lo unico diferrente es que tienes que usar el polinomio de taylor para evaluar la funcion dada como aproximacion .