1r ciclo Tengo problema para averiguar las ecuaciones de velocidad y posición hacia atrás

[FelipeB7]

Buenas compañeros, me refiero a que a partir de la ecuación de la posición derivando sacas velocidad y después aceleración, pero el proceso contrario de integrar he intentado hacerlo pero no me sale. Me lo podrían explicar? Gracias!!

[arreldepi]

Re: Tengo problema para averiguar las ecuaciones de velocidad y posición hacia atrás

Buenas compañeros, me refiero a que a partir de la ecuación de la posición derivando sacas velocidad y después aceleración, pero el proceso contrario de integrar he intentado hacerlo pero no me sale. Me lo podrían explicar? Gracias!!

Hola! Voy a ir haciendo los casos posibles des de la aceleración hasta el vector posición, ok?

1. Ecuación de la velocidad a partir de la aceleración.
Sabemos que:

$$\vec a = \frac{\dd \vec v}{\dd \tau}$$

A partir de esto, se nos presentan dos casos:
1.1 Aceleración NO constante: tienes una determinada función $\vec a (t)$; ésta, puedes expresarla:

$$\vec a(\tau) = \frac{\dd\vec v}{\dd \tau}$$

Ahora, "colocamos" esta expresión de manera que podamos integrarla para cargarnos los diferenciales:

$$\dd \vec v = \vec a(\tau)\dd \tau$$

E integramos para los valores iniciales y final de la magnitud expresada en cada diferencial:

$$\int_{\vec v_0}^{\vec v}\vec v^* = \int_{t_0}^{t}\vec a(\tau)\dd \tau$$

Como no sabes qué función es la que determina la aceleración, pues la expresión de la integral será diferente en cada caso, con lo cual:

$$\boxed{\vec v -\vec v_0= \int_{t_0}^{t}\vec a(\tau) \dd \tau}$$

1.2 Aceleración constante:

En este caso, podemos resolver la última integral (ya que la aceleración es constante y podemos sacarla fuera y, por tanto, sólo integramos sobre el diferencial de tiempo):

$$\int_{\vec v_0}^{\vec v}\vec v^* = \vec a\int_{t_0}^{t}\dd \tau$$

Que nos da como resultado, la conocida ecuación de la velocidad para el MUA:

$$\boxed{\vec v -\vec v_0 = \vec a(t-t_0)}$$

2. Ecuación de la posición a partir de la velocidad:
Sabemos que:

$$\vec v = \frac{\dd \vec r}{\dd \tau}$$

Con lo que se nos presentan dos casos:

2.1 Velocidad NO constante:

2.2.1 Aceleración NO constante:

$$\vec v(\tau) = \frac{\dd\vec r}{\dd \tau}$$

Reordenamos para poder integrar e integramos:

$$\dd \vec r = \vec v(\tau)\dd \tau \Longrightarrow\int_{\vec r_0}^{\vec r}\vec r^* = \int_{t_0}^{t}\vec v(\tau)\dd \tau$$

Con lo cual, de nuevo, dependerá de la función que describa la aceleración (que, integrada, es la velocidad):

$$\boxed{{\vec r_0}-{\vec r} = \int_{t_0}^{t}\vec v(\tau)\dd \tau}$$

2.2.2 Aceleración constante:
Es el caso del MUA, antes, hemos definido la velocidad como:

$$\vec v = \vec v_0 + \vec a(\tau-\tau_0)$$

Por tanto, si

$$\vec v = \frac{\dd \vec r}{\dd \tau} \Longrightarrow [ \vec v_0 + \vec a(\tau-\tau_0)]\dd \tau = \dd \vec r$$

Integramos:

$$\int_{\vec r_0}^{\vec r}\dd \vec r^* = \int_{\vec v_0}^{\vec v}[\vec v_0 + \vec a(\tau-\tau_0)]\dd \tau$$

Que nos da la ecuación de la posición en un MUA:

$$\boxed{\vec r-\vec r_0 = \vec v_0(t-t_0)+\frac 12\vec a(t-t_0)^2}$$

2.2 Velocidad constante:

Ahora podemos resolver la integral ya que la velocidad es cte.

$$\int_{\vec r_0}^{\vec r}\dd\vec r^* = \vec v \int_{t_0}^{t}\dd \tau$$

Que nos da como resultado, la ecuación de la posición para el Movimiento Uniforme:

$$\boxed{\vec r -\vec r_0 = \vec v(t-t_0)}$$

Un saludo!!

[Metaleer]

Re: Tengo problema para averiguar las ecuaciones de velocidad y posición hacia atrás

$$\int_{\vec v_0}^{\vec v}\vec v = \int_{t_0}^{t}\vec a(t)\dd t$$

Aquí debe ser

$$\int_{\vec v_0}^{\vec v}\dd \vec v = \int_{t_0}^{t}\vec a(t)\dd t,$$

y mejor aún, se intenta que la variable de integración no sea la misma que uno de los límites de la integral; esto es un abuso de notación común, visto incluso en libros de texto universitarios. En este caso quedaría

$$\int_{\vec v_0}^{\vec v}\dd \vec {v^{*}} = \int_{t_0}^{t}\vec a(\tau)\dd \tau,$$

donde he puesto $\vec {v^{*}}$ en lugar de $\vec v$, y $\tau$ en vez de $t$ para que no haya abuso de notación.

Aparte de eso, todo muy bien explicado, con un bueno uso del LaTeX. .

Saludos.

[arreldepi]

Re: Tengo problema para averiguar las ecuaciones de velocidad y posición hacia atrás

Aquí debe ser

$$\int_{\vec v_0}^{\vec v}\dd \vec v = \int_{t_0}^{t}\vec a(t)\dd t,$$

y mejor aún, se intenta que la variable de integración no sea la misma que uno de los límites de la integral; esto es un abuso de notación común, visto incluso en libros de texto universitarios. En este caso quedaría

$$\int_{\vec v_0}^{\vec v}\dd \vec {v^{*}} = \int_{t_0}^{t}\vec a(\tau)\dd \tau,$$

donde he puesto $\vec {v^{*}}$ en lugar de $\vec v$, y $\tau$ en vez de $t$ para que no haya abuso de notación.

Aparte de eso, todo muy bien explicado, con un bueno uso del LaTeX. .

Saludos.

Gracias Metaleer, ahora lo corrijo!