Desviación de un proyectil

[[Beto]]

Si suponemos que tengo un proyectil y lo disparo desde una cierta latitud $\theta$, desde una cierta altura $h$ y con una velocidad inicial $v_0$ (teniendo en cuenta que la velocidad inicial se encuentra en dirección horizontal en el plano del meridiano) y se dispara de norte a sur. La idea es calcular cuanto se desvía el proyectil.

Y he avanzado algo con e problema y he llegado a hacer algunos cálculos y quisiera que me digan si están correctos, para ello haré uso de la siguiente figura:

Para los que leyeron la solución anteriormente, pido disculpas pues no estaba correctamente planteada.

La edito directamente acá ya que no altera el sentido de los siguientes post.

A continuación pondré la correcta .

Teniendo en cuenta que la fuerza que experimenta un cuerpo en la superficie de la tierra viene dada por:

$\displaystyle m\vec a=\vec F-m\vec a_{O'}-m(\vec \alpha\times \vec r+2\vec\omega \times \vec v +\vec \omega\times(\vec\omega\times\vec r))$

Luego considerando que la partícula se mueve en una vencidad de la tierra y que $\omega^2\approx 0$ y que la tierra gira con veocidad angular constante (es decir $\alpha\approx 0$), y además considerando que para el problema:

$\displaystyle g \hat k=\frac{GM}{R^2} \hat r +\vec a_{O'}$

Donde en esta última expresión:

$\displaystyle m\vec a=\vec F -mg\hat k+\frac{GmM}{R^2} \hat r-m(\vec \alpha\times \vec r+2\vec\omega \times \vec v +\vec \omega\times(\vec\omega\times\vec r))$

Lo cual se puede escribir como:

$m\vec a=\vec f -mg\hat k-2m\vec\omega \times \vec v$

Donde $\vec f$, es la fuerza actuante sobre la partícula fuera de la gravitacional, pero como el movimiento se realiza en la vecindad de la tierra se tiene que $\vec f=0$.

Entonces:

$\displaystyle \vec a= -g\hat k - 2\omega\times \vec v$ ..... (1)

Integrando:

$\displaystyle\vec v=\vec v_{(0)}-gt \hat k-2\vec \omega \times(\vec r -\vec r_{(0)})$ .......(2)

Reemplazando (2) en (1) y no olvidando que estamos considerando que $\omega^2 \approx0$ se obtiene que:

$\displaystyle r= \vec r_{(0)}+\vec v_{(0)}t-\frac{1}{2}gt^2\hat k-t^2\vec \omega\times\vec v_{(0)}+\frac{1}{3}gt^3\vec \omega\times \hat k$

Pero $\vec \omega\times \hat k= \omega\cos\theta\hat j$, entonces:

$\displaystyle r= \vec r_{(0)}+\vec v_{(0)}t-\frac{1}{2}gt^2\hat k-t^2\vec \omega \times \vec v_{(0)}+\frac{1}{3}gt^3 \omega\cos\theta\hat j$

En esta última expresión se puede apreciar claramente que para tiempos pequeños la desviación de un proyectil por efecto de la fuerza de Coriolis está dada por:

$\displaystyle d= |t^2\vec \omega\times\vec v_{(0)}-\frac{1}{3}gt^3\omega\cos\theta\hat j|$

Y como en el problema el disparo es de norte a sur:

$\displaystyle d= |t^2 \omega v_{(0)}\sin\theta-\frac{1}{3}gt^3\omega\cos\theta|$

Lo cual puede aproximarse a:

$d=t^2 \omega v_{(0)}\sin\theta$

Un saludo.

[pod]

Re: Desviación de un proyectil

Uhm, así que intentas hacer un tiro horizontal con efecto coriolis... Supongo que aplicas la aproximación de alcances cortos, lo que te permite decir que la aceleración de coriolis está siempre en el mismo eje (en realidad, iría girando conforme gira el proyectil, claro).

No estoy muy seguro de la figura que has puesto. Recuerda que la latitud se mide desde el ecuador, no como en coordenadas esféricas (que utilizan la co-latitud). A mi siempre me es más claro hacer el dibujo de toda la tierra:

Uhm, no parecen ser compatibles los dos dibujos, ¿no?

[[Beto]]

Re: Desviación de un proyectil

No por el contrario los dibujos si son compatibles es solo que yo he superpuesto a la velocidad angular y la he colocado sobre el punto de origen de coordenadas, el ángulo que yo he puesto si bien no es que tu has dibujado son numéricamente iguales.

y pues si en este caso considero que la trayectoria es pequeña, aunque ahora que lo has mencionado me ha dado curiosidad la forma en que iría variando la fuerza de Coriolis, y pues pensando mejor también variaría la gravedad pues también depende de la latitud; pero para no complicarse tanto la vida digamos que en buena aproximación ¿esta correcto mi desarrollo verdad?

EDITO: Adjunto el dibujo desde donde yo lo veo, el ángulo rojo es el que yo he anotado: