1r ciclo Un cono invertido

[neometalero]

Una superficie cónica invertida, de 2m de radio y 4m de altura, gira a 60 rpm alrededor de su eje de revolución. Determinar a qué distancia del vértice puede quedar en equilibrio una bolita colocada en el interior del cono.

Bueno, pues una vez más, un problema de mecánica, rama de la física que nunca he dominado ni mucho menos, os pongo lo que he hecho.

Por trigonometria:

$$tg{\theta}=\frac{R}{h}=\frac{1}{2}$$

de donde

$$R=htg{\theta}$$

La velocidad es

$$v=\frac{2{\pi}R}{T}=2{\pi}htg{\theta}$$

porque el período es de 1s.
A partir de ahí, si el cuerpo está en equilibro, me surge la duda a la hora de plantear la segunda ley de Newton, de ahi mi gran déficit en estos problemas.
¿$P=F_c$?
¿$P=F_c+N$?
Por componentes?
Si hago uso de la primera de estas, me da 0.495m, pero el resultado correcto es 1.11m. Me faltaria un factor $sen{\theta}$ en el denominador para que sea correcto.
Cualquier sugerencia será bienvenida, gracias!!!

[Afisionado]

Re: Un cono invertido

Yo creo que tienes que igualar las componentes de la gravedad y la aceleración centrípeta, es decir $g\sin\gamma = \omega^2R \cos\gamma$, donde $\omega=2\pi$ rad/s. Teniendo en cuenta que $\gamma$ sería el complementario de $\theta$ ya que el ángulo que te dan no es el del plano inclinado sino el del cono.

También hay que tener en cuenta que la distancia que te piden es la hipotenusa del triángulo, es decir $\frac{R}{\sin\theta}$

Un saludo.

[neometalero]

Re: Un cono invertido

Voy a mirar esto con detenimiento, gracias!!

[neometalero]

Re: Un cono invertido

Con lo que tu dices sale 0.99m, que es sensiblemente diferente de 1.11m.

[Afisionado]

Re: Un cono invertido

Una superficie cónica invertida, de 2m de radio y 4m de altura, gira a 60 rpm alrededor de su eje de revolución. Determinar a qué distancia del vértice puede quedar en equilibrio una bolita colocada en el interior del cono.

Como decías:

$$tg{\theta}=\frac{R}{h}=\frac{1}{2}$$

con lo que

$$\theta=26'6^0$$

Por otro lado

$$g\sin{\gamma}=\omega^2R\cos{\gamma}$$

de donde

$$g\sin{(90-\theta)}=\omega^2d\sin{\theta}\cos{(90-\theta)}$$

despejando la d buscada

$$d=\frac{\sin{(90-\theta)}}{\cos{(90-\theta)}}\frac{g}{\omega^2\sin{\theta}}$$

que es lo mismo que

$$d=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\frac{g}{\omega^2\sin{\theta}}$$

y que

$$d=\frac{1}{\tan{\theta}}\frac{g}{\omega^2\sin{\theta}}$$

tenemos entonces

$$d=\frac{2\cdot g}{4\pi^2\sin{26'6^0}}=1'11$$

Un saludo.

[neometalero]

Re: Un cono invertido

Ups, se me habia olvidado que como tu habías dicho la distancia que me pedían era la diagonal, jejeje, gracias!!

[Afisionado]

Re: Un cono invertido

De nada, fue un placer

[electr0n]

Re: Un cono invertido

El planteamiento de Afisionado es correcto. Hace unos meses resolví este problema y el resultado algebraico es:

$<br /> \displaystyle d = \frac{gH\sqrt{R^2+H^2}}{\omega^2R^2}<br />$

Ahora yo os propongo resolver el mismo ejercicio pero suponiendo que existe rozamiento entre la bolita y la superficie interior. El problema se complica un poco, pero es sumamente interesante

Saludos.