Otras carreras Duda de oscilaciones

[Nachop]

En la figura los carritos de los extremos se encuentran fijos por la barra que los une. Encuentre la ecuación de movimiento y los modos normales

Este ejercicio me salió en una prueba e hice lo siguiente: Si el cuerpo de al medio se meuve una distancia $x$, entonces la ecuación es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

(1)

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

(2)

Entonces los modos normales son cuando la masa de al medio oscila y cuando está quieta, sin embargo mi nota fue bastante deficiente, me gustaría saber en qué está me equivoqué y de qué sirve que el sistema tenga ruedas...

Muchas gracias de antemano

[pod]

Re: Duda de oscilaciones

Las masa 1 y 3 también se pueden mover. La diferencia es que al estar unidos rígidamente, se comportan como un sólo cuerpo.

Sea $x_1 = x_3$ el desplazamiento de las masas extremas, y $x_2$ la del medio. Tomo el criterio de signos que todo es positivo cuando va hacia la derecha.

Sobre el cuerpo compuesto 1 y 3, si $x_1-x_2$ es positivo, el muelle $k_1$ se comprime, por lo que su fuerza va hacia la izquierda (es negativa). En cambio, $k_2$ se alarga, pero como está enganchado por el otro lado, su fuerza sobre la masa 3 también es negativa. Por lo tanto, la ecuación para este cuerpo compuesto es

$$(m_1+m_2) \ddot x_1 = - (k_1 + k_2) (x_1 - x_2) .$$

Haciendo un razonamiento similar, las fuerzas en la segunda masa van completamente al revés (pro acción y reacción, además),

$$m_3 \ddot x_1 = (k_1 + k_2) (x_1 - x_2) .$$

Ahora, lo de siempre. Fíjate que estas ecuaciones se pueden escribir de la siguiente forma

$$\begin{pmatrix} \ddot x_1 \\ \ddot x_2 \end{pmatrix}<br /> =<br /> \begin{pmatrix}<br /> -\dfrac{k_1+k_2}{m_1+m_3} & \dfrac{k_1+k_2}{m_1+m_3} \\<br /> \dfrac{k_1+k_2}{m_2} & - \dfrac{k_1+k_2}{m_2}<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}.$$

Encontrarás los modos normales diagonalizando esta matriz. Este problema es un poco peculiar, esta matriz tiene determinante 0, eso quiere decir que hay un modo normal con frecuencia 0, es decir, no oscilante. Es el modo asociado con el vector propio (1, 1). Como no es oscilante, este modo simplemente es una traslación del centro de masas. Es decir, el sistema se puede mover a velocidad constante con los dos muelles en equilibrio, sin oscilar,

$$\eta_1 = a + b t .$$

El otro modo tiene una frecuencia

$$\omega^2 = (k_1+k_2) \dfrac{m_1+m_2 + m_3}{m_2(m_1 + m_2)} ,$$

y se está asociado al vector propio

$$\vec v_2 = \left( - \frac{m_2}{m_1+m_3} ,\ 1 \right).$$

Vemos que sólo tenemos la habitual oscilación en contrafase pura si $m_2 = m_1+m_3$ (cosa que ya podríamos haber adivinado). La solución de este modo es

$$\eta_2 = c \sin(\omega t + d) .$$

Fíjate que la relación entre modos y variables originales viene dada por la matriz de los vectores propios puestos en columnas,

$$<br /> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}<br /> =<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 & - \lambda \\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \end{pmatrix} , <br /> \qquad \lambda = \dfrac{m_2}{m_1+m_3} ,$$

Por lo tanto, la solución general es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Nachop]

Re: Duda de oscilaciones

Muchísimas gracias pod!

Jamás se me hubiese ocurrido hacerlo así, por eso me fue tan mal en esa pregunta xDD
Sólo un detallito, la masa del cuerpo compuesto es $m_1+m_3$, pero no influye mucho haciendo un cambio de varible y listo

Una pregunta teórica, que nunca entendí bien, ¿por qué los valores propios de la matriz corresponden a los $\omega^2$ y no a los $\omega$ ?

[pod]

Re: Duda de oscilaciones

En forma matricial, lo que tenemos es un sistema de ecuaciones donde

$$\ddot X = M X \ ,$$

donde X es un vector (matriz columna) con los diferentes $x_i$. Al diagonalizar, conseguimos ponerlo de forma

$$\ddot \eta = D \eta \ ,$$

donde $D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \ldots)$ es una matriz diagonal. Es decir, tenemos ecuaciones diferenciales de la forma

$$\ddot \eta_i = d_i \eta_i ,$$

que tienen tres casos:

1. Si $d_i = 0$, la solución es lineal $\eta_i = a_i + b_i t$.
2. Si $d_i > 0$, la solución general viene en términos de funciones hierbólicas, $\eta_i = a_i \cosh \sqrt{d_i} t +b_i \sinh \sqrt{d_i} t$.
3. Si $d_i < 0$, la solución es oscilante, $\eta_i = a_i \sin( \sqrt{-d_i} t + b_i )$. De ahí, la identificación $\omega_i^2 = - d_i$.

[Nachop]

Re: Duda de oscilaciones

Demasiado claro pod

Nunca había entendido ese "por qué" hasta hoy