1r ciclo Rodillo vinculado a masa sobre plano inclinado

[nico_palermo]

Hola, estaba revisando unos ejercicios y encontré uno que me presentó una duda, es el siguiente:

Un cilindro uniforme de masa m y radio R tiene arrollada una cuerda que está unida a un bloque de masa M. La cuerda pasa por una polea de masa despreciable. El cilindro rueda sin deslizar por el plano inclinado. Hallar la velocidad del bloque cuando ha descendido una altura h, sabiendo que el sistema parte del reposo.
Datos: m = 2 kg; M = 3 kg; R = 0,5 m; $\alpha$=37º

Hay que resolverlo solo con conceptos de dinámica, sin aplicar "cuerpo rígido".
Los DCLs sons:

Mi pregunta es: ¿como planteo la sumatoria de fuerzas en el cilindro? ¿importa el radio?
sino tendría las siguientes ecuaciones:

$T-F_R-P_m.sen(\alpha)=m.a_m$
$a_m$ sería la aceleración del centro de masa del cilindro, igual a la aceleración de M?
$T-P_M=M.a_M$

¿Es así de simple?

Muchas gracias

[electr0n]

Re: Rodillo vinculado a masa sobre plano inclinado

La aceleración del CDM del cilindro y la de la masa colgante son iguales porque el cilindro rueda sin deslizar. Es posible demostrarlo a partir de la condición de rodadura sin deslizamiento $a_{CM}=\alpha R$.

Por otra parte, las ecuaciones que pones están bien salvo un signo en la segunda (fíjate en la dirección de desplazamiento de la masa colgante):$P_M-T=Ma$.

En principio, dado que sólo nos preguntan la velocidad del bloque, el radio no va a influir, y el resultado es:

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{2gh(M-msen\alpha )}{M+m}}$

Saludos!

EDITADO: ÑEC! Error. Está mal. Corregido más abajo...

[nico_palermo]

Re: Rodillo vinculado a masa sobre plano inclinado

Es cierto M se mueve en sentido del Peso, están al revés los signos.
Gracias electrón, como siempre un fenómeno.

[nico_palermo]

Re: Rodillo vinculado a masa sobre plano inclinado

Una pregunta mas, no tengo datos para calcular la fuerza de rozamiento, y me doy cuenta que ésta solo hace que rote el cilindro, sino deslizaría, y no tengo que usarla en la ecuación.
Pero como lo explico formalmente?

[electr0n]

Re: Rodillo vinculado a masa sobre plano inclinado

Repasando y repasando, al leer tu pregunta me he dado cuenta de que he metido la pata. Las aceleraciones NO son iguales porque en un caso hay rotación+traslación y en otro sólo traslación.

Si el cilindro rueda sin deslizar, la aceleración del punto de su periferia en contacto con la cuerda será $a=a_{CM}+\alpha R=2a_{CM}$, que coincide con la aceleración del bloque colgante.

Efectivamente, la fuerza de rozamiento debe existir porque es la que se opone al deslizamiento. En este caso lo que sucede es que el rozamiento depende de la situación que se nos plantea y de las ecuaciones que resultan, por lo que queda indefinido. Su magnitud dependerá de lo intensa que sea la tensión T, que cuando supere un cierto límite lo hará deslizar.

El método para resolver este problema está basado en energías. Nos aprovechamos del hecho de que el rozamiento produce dos trabajos de la misma magnitud pero sentidos opuestos en la rotación+traslación, por lo que no se incluye en el balance energético.

Inicialmente:

$E(cilindro) = E(masa-colgante) = 0$ [origen de energía potencial]

Al descender una altura h:

$\displaystyle E(cilindro)=+mgh\cdot sen\alpha+\frac{mv_m^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2}$

$\displaystyle E(masa-colgante)=-Mgh+\frac{Mv_M^2}{2}$

El balance energético queda:

$\displaystyle Mgh=mgh\cdot sen\alpha+\frac{Mv_M^2}{2}+\frac{mv_m^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2}$

Si el cilindro NO desliza, sabemos que $a=a_{CM}+\alpha R=2a_{CM}$; de aquí se deduce la relación entre las velocidades: $\displaystyle v_m=\frac{v_M}{2}$, y recordando que $v_m=\omega R$ y que para el cilindro $\displaystyle I=\frac{mR^2}{2}$, hacemos cuentas y despejamos directamente la velocidad:

$\boxed{\displaystyle v(h)=\sqrt{\frac{16gh(M-msen\alpha)}{8M+3m}}}$

Como ves, aunque haya rozamiento, el resultado no depende del mismo (siempre y cuando no deslice).

No soy tan fenómeno porque a veces meto la pata; pero me he puesto a saco con este problemita porque es muy interesante

Saludos

[nico_palermo]

Re: Rodillo vinculado a masa sobre plano inclinado

Ya caí en cual fue mi error, creí que estaba viendo ejercicios de la primer parte de la cursada, hace mucho mucho tiempo, que correspondería a dinámica, pero me acabo de dar cuenta que este esta en un grupo de ejercicios de exámenes finales con lo cual si hay que resolverlo aplicando cuerpo rígido.
Gracias!

[electr0n]

Re: Rodillo vinculado a masa sobre plano inclinado

Ten en cuenta que, independientemente de dónde encuentres el ejercicio, hay que pensar en la forma correcta de resolverlo con buen criterio. Si ves un cilindro que gira, está claro que hay que aplicarle "cuerpo rígido" (en realidad la Dinámica incluye partículas, cuerpos rígidos y cuerpos deformables) y plantear las ecuaciones de traslación y rotación como hemos hecho.

Un apunte más: en tus dibujos, el peso debe colocarse aplicado en el centro de masas del cilindro, no en el punto de apoyo, para que en cualquier caso se puedan plantear correctamente las expresiones de trabajo y rotación respecto de algún punto.

Saludos!