choques

[alefriz]

Hola,
pongo un problema al que no llego encontrar la solución, a pesar de que creo que el planteamiento que hago es el correcto:

Una partícula de masa $m$ se suelta desde una altura $h$ y los choques que ocurren contra el suelo son de coeficiente de restitución $e$. Determine el tiempo total que tarda en ocurrir todos los choques.

[pod]

Re: choques

Según la definición de coeficiente de restitución, y teniendo en cuenta que el suelo no se va a mover, la velocidad tras el n-ésimo choque será

$\displaystyle v_n = e v_{n-1} \ ,$

donde $v_0 = \sqrt{2g h}$, por lo que tendremos

$\displaystyle v_n = e^n \sqrt{2g h} \ .$

El tiempo que dura (la mitad de) cada choque se calcula de la forma normal:

$\displaystyle 0 = v_n - g t_n \ ,$

de donde tendremos

$\displaystyle t_n = \frac{v_n}{g} = e^n \sqrt{\frac{2h}{g}} \ .$

El tiempo total, pues será una simple suma

$\displaystyle \begin{aligned}<br /> t & = t_0 + 2\sum_{n=1} t_n\\<br /> & = 2 \sum_{n=0} t_n - t_0\\<br /> & = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( 2 \sum_{n=0} e^n - 1 \right) \ .<br /> \end{aligned}$

Como $e < 1$, la suma anterior se puede hacer (no es más que una serie geométrica), que nos da

$\displaystyle t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( \frac{2}{1-e} - 1\right)\ ,$

es decir

$\displaystyle \boxed{t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \frac{1+e}{1-e} \ .}$