2o ciclo Transformaciones Galileanas

[[Beto]]

Hola, tomando en cuenta las siguientes transformaciones galileanas:

Primero, cambio de un sistema inercial en reposo a uno moviendose con una velocidad constante $\mathbf{v}$:

$$g_1(t,\mathbf{x})=(t,\mathbf{x}+\mathbf{v}t)~\forall t\in \mathbb{R}, \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$$

Segunda, traslación del origen de coordenadas:

$$g_2(t,\mathbf{x})=(t+s,\mathbf{x}+\mathbf{s})~\forall t\in \mathbb{R}, \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$$

Tercero, rotación de los ejes coordenados

$$g_3(t,\mathbf{x})=(t,G\mathbf{x})~\forall t\in \mathbb{R}, \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$$

donde $G:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ es una transformación ortogonal.

teniendo en cuenta lo anterior la duda que tengo es como probar que cualquier trasformación galileana se puede escribir como una composición de las trasnformaciones antes mencionadas ($\dst g=g_1og_2og_3$), intuitivamente se ve que es cierto, pero formalmente no se me ocurre como demostrarlo.

¿me pueden dar alguna idea?

[PBG]

Re: Transformaciones Galileanas

Es sencillo:

g2 o g3(t,r) = g2(t,Gr)
g1 o g2(t,Gr)=g1(t+s, Gr+s) =(t+s, Gr+vt+s)
g1 o g2 o g3 (t,r)= (t+s, Gr+vt+s)

Que define un elemento cualquiera del Grupo de Galileo: [(G= {T / T aplicaciones de R4 en R4 / T (t,r)= (t+s, Gr+vt+s)} con G de SO(3), s de R, v de R3], donde el elemento neutro es la transformación para la cual G=Identidad, v=0, s=0, y donde la operación es la composición de transformaciones de Galileo. (Es muy sencillo comprobar que la composición de dos transformaciones de Galileo es otra transformación galileana) (T' o T (r,t) = (t+s', G'r+v't+s'))