2o ciclo Orbitas cerradas

[Gothgauss]

¿Cual es la condicion necesaria y suficiente para que las orbitas producidas por un potencial central sean cerradas?

[pod]

Re: Orbitas cerradas

¿Cual es la condicion necesaria y suficiente para que las orbitas producidas por un potencial central sean cerradas?

Si no recuerdo mal, utilizando el formalismo de variables acción-ángulo, las dos frecuencias deben ser conmensurables (es decir, su relación debe ser un número racional).

[ser humano]

Re: Orbitas cerradas

que la velocidad del objeto que orbita sea menor que la velocidad que haria que la energia cinetica de obejeto sea igual a la potencial. Es decir que es necesario que su energia potencial sea siempre mayor (en modulo) a la energia cinetica

[Gothgauss]

Re: Orbitas cerradas

que la velocidad del objeto que orbita sea menor que la velocidad que haria que la energia cinetica de obejeto sea igual a la potencial. Es decir que es necesario que su energia potencial sea siempre mayor (en modulo) a la energia cinetica

No se si te das cuenta que con eso lo unico que consigues demostrar es que son acotadas...

[ser humano]

Re: Orbitas cerradas

No se si te das cuenta que con eso lo unico que consigues demostrar es que son acotadas...

no, la verdad que no me daba cuenta, porque hasta que no lo mencionaste no conocia el concepto de "orbita acotada"

[SO3]

Re: Orbitas cerradas

Si la curva esta acotada no es necesariamente cerrada, simplemente esta contenida en un anillo, y de hecho, si la curva no es cerrada, llena densamente ese anillo. Estoy escribiendo una prueba para lo que ha dicho pod, pero hay que tener en cuenta tambien el que este acotada o no para que tenga sentido la condicion de pod. Me faltan algunos detalles asi que dentro de un rato espero poder postearla.

[ser humano]

Re: Orbitas cerradas

aca esta la respuesta:

http://www.google.com.ar/url?sa=t&so...W82YxS3FBJpeoQ

[SO3]

Re: Orbitas cerradas

Para un campo en el plano el siguiente razonamiento , mas geometrico quiza que el que a puesto serhumano que es mas para fisicos ,muestra lo que ha dicho pod, salvo que requiere tambien que la solucion sea acotada.

En primer lugar notemos que dado un campo central $X(r)$ podemos extenderlo a un campo $X:\mathbb S^2\mapsto T\mathbb S^2$ sin mas que poner $X(\infty)=0$ .Se tiene pues $F(t,r):\mathbb Rx \mathbb S^2\mapsto \mathbb S^2$ , el flujo .


Supongamos que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es una solucion periodica no constante, sea [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] pues en caso contrario se trataria de un punto critico y pongamos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Existe pues $h:\mathbb S^1\mapsto \mathbb S^2$ con [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . $h$ es continua luego $d(N, h(x))$ y $d(S, h(x))$ ,donde $N$ y $S$ son el polo norte y el polo sur, alcanzan sus minimos.

Si ocurre que los puntos donde se alcanzan los minimos coinciden, la curva esta contenida en un meridiano y ha de ser todo el meridiano pues si no habria puntos criticos lo cual es absurdo.


Supongamos que son distintos; si son aislados, fijando un [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] donde se alcance el minimo de $d(N,h)$ y tomando el mas cercano donde se alcance el minimo de $d(S,h)$, ocurre que si la diferencia entre ambos es conmensurable con [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] podemos obtener otra aplicacion $p: \mathbb S^1 \mapsto \mathbb S^2$ ,con [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y en caso contrario no se puede por ser [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] con generador la identidad y un lema de levantamientos.


Por el contrario, si no son aislados, al ser el campo invariante por giros y al ser los puntos donde alcanza el maximo$d(N, h)$ y $d(N, h)$ intercalados, en caso contrario el meridiano donde cambie la direcion de la curva seria una solucion y no habria unicidad, la curva se acumularia tanto en el meridiano de distancia minima a $N$ y en el de distancia minima a $S$, lo cual contradice el hecho de que las unicas curvas integrales periodicas , no constantes, de un campo en $\mathbb S^2$ son circunferencias , ya supuesto que dichos meridianos son distintos.


Por otra parte, si la curva no esta acotada claramente $\infty$ es un punto de acumulación de la curva, y por unicidad de soluciones no es cerrada.

[Gothgauss]

Orbitas cerradas

A ver, yo por lo uqe se Bertrand postulo que los potenciales centrales -k/r y k*r^2 son los unicos que aseguran que siempre tendran orbitas cerradas.

Luego ha ido habiendo añadidos, como el potencial de Coulomb acotado, en el que podemos encontrar infinitas orbitas cerradas, siempre y cuando la relacion p/q sea un numero racional

En general, y coincidiendo con pod, una condicion necesaria es que la particula se encuentre acotada por un potencial y que p/q sean proporcionales en numero racional

[pod]

Re: Orbitas cerradas

Teorema: Todos los potenciales centrales con órbitas tiene al menos una órbita cerrada.

Demostración: Que un potencial tenga una órbita propiamente dicha significa que, para alguna energía, existe necesariamente una región del espacio clásicamente permitida delimitada por dos puntos de retorno en el potencial eficaz. Si no fuera así, podría ir al infinito (y ya no tendríamos una órbita, sino una trayectoria que pasa cerca y después se va). Por los típicos teoremas del valor medio, eso significa que entre esos dos puntos hay por lo menos un mínimo local del potencial eficaz. Si el sistema está en dicho mínimo local, nunca se moverá: la distancia será constante. Es decir, todos los potenciales centrales que tienen órbitas, tienen por lo menos una órbita circular, que obviamente es cerrada. QED

Si el sistema no está en el mínimo, pero sí muy cerca, entonces al movimiento circular se le superpondrá otro movimiento de oscilación al rededor de la distancia de equilibrio. La frecuencia de estas oscilaciones tendrá que ver con la derivada segunda del potencial eficaz en el mínimo. Si esta frecuencia y la del movimiento circular son conmensurables (al dividirlas da un número racional, no un real cualquiera), entonces el movimiento seguirá siendo cerrado (si la relación entre las frecuencias es n/m, ambos enteros y primos entre si, entonces el movimiento se cerrará tras n periodos de una de las frecuencias y m del otro).


Para hacer el análisis en general, hay que resolver la ecuación al completo. La podéis encontrar en cualquier apuntes de fuerzas centrales. Si hacemos el cambio de variables u = 1/r, y la fuerza central es de la forma $\vec F = F(r) \hat r$, entonces la ecuación diferencial que cumple la trayectoria es

$$\frac{\dd^2 u}{\dd \theta^2} + u = - \frac{m}{L^2 u^2} F(1/u) .$$

El caso mas sencillo es $F(r) = - k / r^2 = - k u^2$, que obviamente corresponde con el potencial gravitatorio. En este caso, el término in-homogéneo no depende de u, y por lo tanto la solución es simplemente un coseno, que obviamente siempre es periódico, y por lo tanto las órbitas gravitatorias siempre son cerradas.

En un caso más general, habría que usar métodos como variación de constantes para saber si $u(\theta)$ es una función periódica o no.

[Gothgauss]

Re: Orbitas cerradas

Eso es el teorema de bertrand no?

Bertrand lo aseguro para el potencial de coulomb y para la ley de hook, pero modificaciones posteriores han asegurado que para potenciales centrales como el de coulomb apantallado si se pueden encontrar orbitas cerradas