2o ciclo Sobre una matriz cuadrada

[[Beto]]

El ejercicio, dice lo siguiente:

Si $B$ es uan matriz cuadrada y $A$ es la exponencial de $B$, definida por el desarrollo en serie de la exponencial,

$$A=e^B=I+B+\frac{1}{2}B^2+\dots+\frac{B^n}{n!}+\dots$$

a continuación presento las dudas de cada apartado que piden probar:

• $e^Be^C=e^{B+C}$ con tal que $B$ y $C$ conmuten.

Según veo, si es una exponencial esa relación siempre se cumple ... ¿por que habría que tener como condición que las matrices conmuten?

• $A^{-1}=e^{-B}$

Esta yo la hago así, sea $C=e^{-B}$ luego como $AC=e^{B}+e^{-B}=e^{B-B}=e^0=I$, entonces $C$ es la inversa de A. ¿Está correcto plantear la solución así?

• $e^{CBC^{-1}}=CAC^{-1}$

Acá se me ocurrió desarrollar en serie el lado derecho para ver si llegaba a algo, pero no logro resolverlo, quizás esté pasando algo por alto.

• $A$ es ortogonal si $B$ es antisimétrica.

Acá $A$, sería ortogonal si $A.A^t=I$, además $A^t=A^{-1}$, y como anteriormente se ha probado $A^{-1}=e^{-B}$, luego si $B^t=-B$, quedaría probado lo que me piden, claro que se tendría que hacer el proceso en orden inverso ... pero esa es la idea. Si me equivoco alguien que me corrija.

• $e^{iB}$ es unitaria si $B$ es hermítica.

Esta imagino que se hace de manera similar a la anterior (claro si es que la anterior la haya hecho bien )

[carroza]

Re: Sobre una matriz cuadrada

Hola.

Todas las demostraciones las debes realizar partiendo de la definición de exponencial de un operador como el desarrollo en serie. No puedes dar por supuestas las propiedades de la exponencial, tal como
$e^{A+B} = e^{A} e^{B}$.

Para demostrar esta expresión, desarrolla$e^{A+B}$ como series de potencia de (A+B). Si A y B conmutan, puedes pasar todas las A a la derecha y sacar factor común. Obtendrás $e^{A+B} = e^{A} e^{B}$.

La demostración de $e^{C^{-1} A C} = C^{-1} e^{A} C$ sale del desarrollo en serie, cancelando todos los factores $C C^{-1}$ que te aparecen.

[pod]

Re: Sobre una matriz cuadrada

Ten en cuenta que, hablando de matrices, $\eee{A}$ es una notación formal. No es el número 2,7... elevado a una matriz, eso no tiene sentido. Simplemente es una abreviación para el desarrollo en serie.

[arbolis87]

Re: Sobre una matriz cuadrada

Y también, no sé si es un error, pero pusiste $e^B+e^{-B}=e^{B-B}$.

[PBG]

Re: Sobre una matriz cuadrada

Si A y B cumplen que [A,[A,B]]=[B,[B,A]]=0 se cumple que e^(A+B) = e^A · e^B · e^-1/2[A,B]. A esta fórmula se la conoce como "fórmula de Glauber". Una forma de obtenerla es considerar la función: f(t) = e^tA e^tB e^-t/2[A,B], desarrollarla en serie de potencias, y evaluar el desarrollo en t=1. En el caso de que conmuten, el tercer término desaparece y se recupera la propiedad usual de la exponencial.

[PBG]

Re: Sobre una matriz cuadrada

A veces se le llama también fórmula de Zassenhaus.

[[Beto]]

Re: Sobre una matriz cuadrada

Y también, no sé si es un error, pero pusiste $e^B+e^{-B}=e^{B-B}$.

es un error, va sin el signo de suma.