2o ciclo Lagrangiana de 3 cuerpos unidos por resortes

[[Beto]]

Hola, me dan la siguiente figura:

con las siguientes restricciones:

• Su centro de masa siempre permanece en la misma posición.
• No experimenta momento angular resultante.
• El sistema está restringido a un plano.

Entonces si me imagino las tres masas sobre una mesa, $U_g=0$ (aunque me parece que no necesariamente se tiene que elegir el sistema en forma horizontal) ... pero para calcular la energía potencial elástica y la energía cinética no se me ocurre como elegir de forma adecuada las coordenadas a usar.

[jorgext]

Re: Lagrangiana de 3 cuerpos unidos por resortes

Usa coordenadas polares, pon el sistema de referencia en el centro y cada partícula tendra como coordenada generalizada un ángulo $\theta_i$ con $i=1,2,3$

[[Beto]]

Re: Lagrangiana de 3 cuerpos unidos por resortes

Usa coordenadas polares, pon el sistema de referencia en el centro y cada partícula tendra como coordenada generalizada un ángulo $\theta_i$ con $i=1,2,3$

Y ¿si está bien la parte de no considerar potencial gravitatorio o si debería de tomarlo en cuenta?

Voy a intentar plantear el ejercicio como me dices y luego anoto a donde he llegado.

[jorgext]

Re: Lagrangiana de 3 cuerpos unidos por resortes

Y ¿si está bien la parte de no considerar potencial gravitatorio o si debería de tomarlo en cuenta?

Voy a intentar plantear el ejercicio como me dices y luego anoto a donde he llegado.

El potencial gravitatorio no importa en este caso. Dado que el potencia gravitatorio es de la forma $U=mgd$, este no afecta el movimiento de las partículas ya que $d$ se mantiene constante.

Esa es la actitud, sigue adelante.

[pod]

Re: Lagrangiana de 3 cuerpos unidos por resortes

A priori, usar coordenadas polares en este problema parece muy contraproducente. Uno tiene que poner en la energía potencial la distancia entre cada par de partículas, y eso en coordenadas polares es muy muy difícil. En cambio, en coordenadas cartesianas es muy sencillo: $(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2$.

La primera restricción te dice que no hay fuerza externa neta. Junto con la tercera restricción, eso nos dice que el sistema está en un plano horizontal, sino sería imposible que el cdm se conservara. Una vez impuesto esto, ya no hay que hacer nada más con esta restricción.

La segunda restricción no te afecta a la hora de escribir la lagrangiana. Como no hay fuerzas (torques) externas, el momento angular es una constante. Es decir, lo único que hace esta ligadura es decirte que las condiciones iniciales son tales que no hay momento angular.

[jorgext]

Re: Lagrangiana de 3 cuerpos unidos por resortes

A priori, usar coordenadas polares en este problema parece muy contraproducente. Uno tiene que poner en la energía potencial la distancia entre cada par de partículas, y eso en coordenadas polares es muy muy difícil. En cambio, en coordenadas cartesianas es muy sencillo: $(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2$.

La primera restricción te dice que no hay fuerza externa neta. Junto con la tercera restricción, eso nos dice que el sistema está en un plano horizontal, sino sería imposible que el cdm se conservara. Una vez impuesto esto, ya no hay que hacer nada más con esta restricción.

La segunda restricción no te afecta a la hora de escribir la lagrangiana. Como no hay fuerzas (torques) externas, el momento angular es una constante. Es decir, lo único que hace esta ligadura es decirte que las condiciones iniciales son tales que no hay momento angular.

Tienes razón pod... en verdad, no me fijé bien, y se trata de un triángulo, no de una circunferencia de resortes.
Aunque difícil, igual se puede :P

[[Beto]]

Re: Lagrangiana de 3 cuerpos unidos por resortes

Bueno, suponiendo que la longitud natural de cada resorte es $\ell_0$, la cosa me queda así:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> T=&\frac{1}{2}m(\dot x_1^2+\dot x_2^2+\dot x_3^2+\dot y_1^2+\dot y_2^2+\dot y_3^2)\\<br /> U=&\frac{1}{2}k\left[(\ell_0-\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2})^2+(\ell_0-\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2})^2\right.\\<br /> &\left.+(\ell_0-\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2})^2\right]<br /> \end{aligned}<br />$$

Finalmente:

$$\begin{aligned}<br /> L=&T-U\\<br /> L=&\frac{1}{2}m\sum_{i=1}^3(\dot x_i^2+\dot y_i^2)-\frac{1}{2}k\sum\left[\ell_0-\sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2}\right]^2<br /> \end{aligned}<br />$$

Como notarán tengo una confusión algo extraña a la hora de escribir la segunda sumatoria (la de las energías potenciales) , ¿cómo la podría escribir?

[pod]

Re: Lagrangiana de 3 cuerpos unidos por resortes

Tienes razón pod... en verdad, no me fijé bien, y se trata de un triángulo, no de una circunferencia de resortes.
Aunque difícil, igual se puede :P

Claro que se puede,

$$d_{ij}^2 = ( r_i \cos\theta_i - r_j \cos\theta_j)^2 + ( r_i \sin\theta_i - r_j \sin\theta_j)^2 .$$

Seguro que expandiendo cuadrados se simplifican algunas cosas usando identidades trigonométricas, pero aún así no me parece muy recomendable.

Como notarán tengo una confusión algo extraña a la hora de escribir la segunda sumatoria (la de las energías potenciales) , ¿cómo la podría escribir?

Puedes poner el sumatorio así:

$$\sum_{i<j}$$

[lindtaylor]

Re: Lagrangiana de 3 cuerpos unidos por resortes

Una pregunta, $x_2$ es la posicion de la masa $2$ desde un origen fijo y $x_1$ posicion de la masa $1$ desde el mismo origen fijo ? o $x_2$ es la posicion medida desde el punto de equilibrio de la masa $2$?(analogamente para $x_1$ el cual estaria medido desde la posicion de equilibrio de la masa $1$, asi teniendo "$2$ sistemas de referencia para $m_1$ y $m_2$" por asi decirlo)