2o ciclo Cálculo de tensor de inercia

[[Beto]]

En el siguiente ejercicio, me dan las siguientes figuras formadas por barras de longitud $\ell$ y masa $m$:

me piden calcular el tensor de inercia para cada uno de los sistemas en sus ejes principales. He avanzado a resolver una parte de la primera figura (el triángulo), y he calculado los momentos de inercia de cada una de las barras respecto a su centro de masa de cada una, obteniendo lo siguiente:

Para la barra horizontal:

$$I_1=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0&0&0\\<br /> 0&1&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Para la barra inclinada de la izquierda:

$$I_2=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> \sin^2\frac{\pi}{3}&-\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}&0\\<br /> -\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}&\cos^2\frac{\pi}{3}&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Y finalmente para la barra inclinada de la derecha:

$$I_3=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> \sin^2\frac{\pi}{3}&\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}&0\\<br /> \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}&\cos^2\frac{\pi}{3}&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}<br />$$

luego supongo que el tensor de inercia total sobre los ejes principales del sistema que es diagonal debe de ubicarse al considerar el sistema coordenado sobre el baricentro del triángulo (es pasar a cada uno de esos tensores a ese nuevo sistema y sumarlos), pero aún no aprendo a usar adecuadamente el teorema de steiner en esta forma matricial ... ¿alguna ayuda?.

Y si es posible también seria bueno que me den alguna sugerencia respecto al otro ejercicio, donde se ha formado con 12 barras un sólido, y piden calcular el tensor de inercia respecto a los ejes principales del sólido en cuestión.

[carroza]

Re: Cálculo de tensor de inercia

Hola.

Si sumas los tensores de inercia del triangulo, encuentras que es diagobal, en este sistema que has escogido. Por tanto, los ejes que has escogido son ejes principales. Además, los dos primeros momentos de inercia son iguales, por tanto cualquier conjunto de ejes perpendiculares, en los que uno sea perpendicular al plano del triangulo, son ejes principales.

En el octaedro, por propiedades de simetría encuentras que los ejes que van de un vertice al opuesto son ejes principales. Además, también por propiedades de simetría, encuentras que los tres momentos de inercia, con respecto a estos tres ejes, son iguales. Por tanto, basta con que calcules el momento de inercia de todas las barras con respecto a un eje (el z, por ejemplo) y obtendrás el tensor de inercia, que es diagonal y con todos sus elementos iguales.


saludos

[[Beto]]

Re: Cálculo de tensor de inercia

Hola.
Si sumas los tensores de inercia del triangulo, encuentras que es diagobal, en este sistema que has escogido. Por tanto, los ejes que has escogido son ejes principales. Además, los dos primeros momentos de inercia son iguales, por tanto cualquier conjunto de ejes perpendiculares, en los que uno sea perpendicular al plano del triangulo, son ejes principales.

Si, pero es que cada tensor de inercia que tengo esta calculado respecto a cada centro de grevedad de su respectiba barra (orientando los ejes X e Y como horizontal y vertical) ... entonces no los podria sumar porque no están calculados en un mismo punto, me tocaría usar el teorema de Steiner obtener los tensores calculados respecto a un punto en conmún (en este caso el baricentro), entonces ¿como encuentro el tensor que debo de sumarle a cada matriz para poder trasladar? ... no tengo mucha experiencia calculando tensores de inercia, o si toca simplemente sumarlos como dices ¿por que?

[pod]

Re: Cálculo de tensor de inercia

Si, pero es que cada tensor de inercia que tengo esta calculado respecto a cada centro de grevedad de su respectiba barra (orientando los ejes X e Y como horizontal y vertical) ... entonces no los podria sumar porque no están calculados en un mismo punto, me tocaría usar el teorema de Steiner obtener los tensores calculados respecto a un punto en conmún (en este caso el baricentro), entonces ¿como encuentro el tensor que debo de sumarle a cada matriz para poder trasladar? ... no tengo mucha experiencia calculando tensores de inercia, o si toca simplemente sumarlos como dices ¿por que?

Yo diría que tienes razón. El teorema de Steiner para tensores es así: si $\vec a$ es el vector que indica el desplacamiento desde el centro de masas (o sea, sale del centro de masas de cada vara y apunta al baricentro), entonces el nuevo momento de inercia es

$$I'_{ij} = I_{ij} + m ( a^2 \delta_{ij} - a_i a_j ) .$$

Probablemente, los tres términos del desplazamiento procedientes de las tres varas se cancelen entre si para dar algo muy sencillo (o cero, o una matriz diagonal), porque a mi me parecen correctos los argumentos de simetría de Carroza.

[[Beto]]

Re: Cálculo de tensor de inercia

Hola, bueno entonces respecto al baricentro, me quedaría lo siguiente:

Para la barra horizontal:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> I_1'&=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0&0&0\\<br /> 0&1&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}+\frac{1}{12}m\ell^2\begin{pmatrix}<br /> 1&0&0\\<br /> 0&0&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}\\<br /> I'_1&=\frac{1}{12}m\ell^2\begin{pmatrix}<br /> 1&0&0\\<br /> 0&1&0\\<br /> 0&0&2<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{aligned}<br />$$

Para la barra de la izquierda:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> I_2'&=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> \sin^2\frac{\pi}{3}&-\dfrac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2}&0\\<br /> -\dfrac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2}&\cos^2\frac{\pi}{3}&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}+\frac{1}{12}m\ell^2\begin{pmatrix}<br /> \cos^2\frac{\pi}{3}&\dfrac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2}&0\\<br /> \dfrac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2}&\sin^2\frac{\pi}{3}&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}\\<br /> I'_2&=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1&0}&0\\<br /> 0&1&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{aligned}<br />$$

Para la barra de la derecha:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> I_3'&=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> \sin^2\frac{\pi}{3}&-\dfrac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2}&0\\<br /> -\dfrac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2}&\cos^2\frac{\pi}{3}&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}+\frac{1}{12}m\ell^2\begin{pmatrix}<br /> \cos^2\frac{\pi}{3}&-\dfrac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2}&0\\<br /> -\dfrac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2}&\sin^2\frac{\pi}{3}&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}\\<br /> I'_3&=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1&0}&0\\<br /> 0&1&0\\<br /> 0&0&1<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{aligned}<br />$$

Así finalmente el tensor de inercia de todo el sistema respecto al baricentro sería:

$$I&=\frac{1}{4}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1&0}&0\\<br /> 0&1&0\\<br /> 0&0&2<br /> \end{pmatrix}$$

Si alguien se anima a revisar mis cálculos y decirme si he realizado bien el cálculo del tensor de inercia, seria de ayuda.

[pod]

Re: Cálculo de tensor de inercia

Si alguien se anima a revisar mis cálculos y decirme si he realizado bien el cálculo del tensor de inercia, seria de ayuda.

Tiene buena pinta, como suponíamos te sale directamente diagonal. Aunque me parece que no has acabado de sumar bien la componente 3,3.

Yo la verdad no me animo Pero sí puedo decirte una forma en que puedes comprobarlo tú mismo. Puedes calcular el momento de inercia respecto cada uno de los tres ejes principales "a la antigua", es decir, haciendo la típica integral de $r^2 \dd m$, donde r es la distancia al eje en cuestión (no la distancia al origen).

[[Beto]]

Re: Cálculo de tensor de inercia

Tiene buena pinta, como suponíamos te sale directamente diagonal. Aunque me parece que no has acabado de sumar bien la componente 3,3.

Yo la verdad no me animo Pero sí puedo decirte una forma en que puedes comprobarlo tú mismo. Puedes calcular el momento de inercia respecto cada uno de los tres ejes principales "a la antigua", es decir, haciendo la típica integral de $r^2 \dd m$, donde r es la distancia al eje en cuestión (no la distancia al origen).

Ya vi, sumé mal ... daría asi:

$$I&=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> 3&0}&0\\<br /> 0&3&0\\<br /> 0&0&4<br /> \end{pmatrix}$$

[carroza]

Re: Cálculo de tensor de inercia

Ya vi, sumé mal ... daría asi:

$$I&=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> 3&0}&0\\<br /> 0&3&0\\<br /> 0&0&4<br /> \end{pmatrix}$$

Hola. Te has equivocado. El tensor de la barra horizontal lo tienes bien. Los tensores de las otras dos barras deben ser iguales al de la horizontal, ya que se obtienen rotando en torno al eje z 120 y 240 grados. Rotar la matriz unidad (en x e y) te da la matrix unidad.
Por tanto, queda:

$$I&=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> 3&0}&0\\<br /> 0&3&0\\<br /> 0&0&6<br /> \end{pmatrix}$$

[[Beto]]

Re: Cálculo de tensor de inercia

Hola. Te has equivocado. El tensor de la barra horizontal lo tienes bien. Los tensores de las otras dos barras deben ser iguales al de la horizontal, ya que se obtienen rotando en torno al eje z 120 y 240 grados.
Por tanto, queda:

$$I&=\frac{1}{12}m\ell^2<br /> \begin{pmatrix}<br /> 3&0}&0\\<br /> 0&3&0\\<br /> 0&0&6<br /> \end{pmatrix}$$

Gracias, ya me di cuenta de mi error, al usar el teorema de steiner sumé mal el elemento 3,3 del tensor de inercia (1+1=1 ). No lo había pensado así como lo planteas, tomando en cuenta la rotación, con ello sale mucho más sencillo.