1r ciclo Forma de Nielsen de las Ecuaciones de Euler Lagrange

[Atreides]

Hola foreros:

Estoy intentando demostrar que la Forma de Nielsen de las Ecuaciones de Euler-Lagrange es en efecto equivalente a las Ecuaciones de Euler-Lagrange, es decir

$\frac{\partial \dot{T}}{\partial \dot{q_{j}}} - 2 \frac{\partial T}{\partial q_{j}} = Q_{j}$

sabiendo que

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{j}}} - \frac{\partial T}{\partial q_{j}} = Q_{j}$

donde $T$ es la energía cinética, $q_{j}$ es la coordenada generalizada j-ésima, $\dot{q_{j}}=\frac{dq_{j}}{dt}$ y $Q_{j}$ es la fuerza generalizada en la coordenada $q_{j}$

Lo que he hecho ha sido:

$\dot{T}=\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}\ddot{q}+\frac{\partial T}{\partial t}$

$\frac{\partial \dot{T}}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial^2 T}{\partial q \partial \dot{q}}\dot{q}+\frac{\partial^2 T}{\partial \dot{q}^2}\ddot{q}+\frac{\partial^2 T}{\partial t \partial \dot{q}}$

Por otro lado, sea $\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=T_{q_{j}}$

$\frac{d}{dt}T_{q_{j}}=\frac{\partial T_{q_{j}}}{\partial q_{j}}\dot{q_{j}} + \frac{\partial T_{q_{j}}}{\partial \dot{q_{j}}}\ddot{q_{j}} + \frac{\partial T_{q_{j}}}{\partial t}$

Y no veo de qué manera les hago casar.

He derivando teniendo en cuenta $T=(q,\dot{q},t)$ y sus derivadas también.

¿Alguna idea?

Un saludo y gracias!!

[arbolis87]

Re: Forma de Nielsen de las Ecuaciones de Euler Lagrange

No sé si te ayuda tener una solución: http://en.wikipedia.org/wiki/Nielsen_form.

[pod]

Re: Forma de Nielsen de las Ecuaciones de Euler Lagrange

Supongo que lo que quieres llegar es la forma más conocida,

$$\frac{\dd}{\dd t} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 .$$

Lo que necesitas es la relación entre la fuerza y el potencial, ya que $L = T - V$. La fuerza generalizada se define como

$$Q_i = \vec F \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial q_i}.$$

Si tenemos en cuenta que $\vec F = - \vec\nabla V$. Por lo tanto, en cartesianas

$$Q_i = - \frac{\partial V}{\partial x_j} \frac{\partial x_j}{\partial q_i} = - \frac{\dd V}{\dd q_i} .$$

[Atreides]

Re: Forma de Nielsen de las Ecuaciones de Euler Lagrange

Hola gracias a ambos.

Quería enfocar este problema a comprobar que aún no sé derivar bien en varias variables, así que lo quiero resolver por fuerza bruta, es decir sin usar ni Euler-Lagrange con la Lagrangiana ni nada. Derivar la parte izquierda de ambas igualdades y ver que en efecto son iguales. Espero explicarme.

Es decir, me gustaría que me comentarais si están bien hechos los cálculos en $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}\right)$ y $\frac{\partial \dot{T}}{\partial \dot{q}}$ o falta alguna regla de la cadena o algo para poder ver que la igualdad se cumple de manera muy evidente.

Un saludo y gracias.

[Entro]

Re: Forma de Nielsen de las Ecuaciones de Euler Lagrange

Entonces tu lo que quieres demostrar es esto:

$\frac{\partial \dot{T}}{\partial \dot{q_{j}}} - 2 \frac{\partial T}{\partial q_{j}} =\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{j}}} - \frac{\partial T}{\partial q_{j}}$

no?

[Atreides]

Re: Forma de Nielsen de las Ecuaciones de Euler Lagrange

Si, y creo que debí haber comenzado por ahí. Y el que me da problemas es el término $\frac{\partial \dot{T}}{\partial \dot{q_{j}}}$

[Entro]

Re: Forma de Nielsen de las Ecuaciones de Euler Lagrange

Fijate que eso lo tienes resuelto en el enlace a la wikipedia que te envió arbolis87

[Atreides]

Re: Forma de Nielsen de las Ecuaciones de Euler Lagrange

Admito vergonzosamente que habia olvidado como derivar un producto.

Un saludo y gracias por vuestra ayuda!