Otras carreras Lagragiano del sistema

[chandal]

Buenas. Tengo un problema para calcular el lagrangiano de un sistema como el de la figura, pero tengo problemas para calcular las coordenadas x,y,z para poder hallar el lagragiano. Ah!! y habría ecuación de ligadura? sería $l=(l-r)+r$ donde l es la longitud total de la cuerda? Creo que como coordenadas generalizadas habría que tomar el angulo $\theta$ y r. Aquí pongo el enunciado completo. Muchas gracias.

1.- Un masa m se desliza sin rozamiento sobre una mesa y a su vez está conectada,
mediante una cuerda que pasa por un agujero en la mesa, a una masa M que cuelga.
Suponemos que la masa M sólo puede moverse verticalmente y que la cuerda siempre
está estirada.
i) Escribir el lagrangiano en las coordenadas r y $\theta$ indicadas en la figura.
ii) Obtener las ecuaciones de movimiento para las variables r y $\theta$
iii) ¿Qué cantidades se conservan durante el movimiento?
iv) ¿Bajo qué condiciones la masa m efectúa un movimiento circular?

[[Beto]]

Re: Lagragiano del sistema

Hola, el problema supongo es que no purdes plantear la energía cinética del sistema ... para ello hazlo para cada masa:

para $m$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Acá toma en cuenta que $x=\dot r\cos\theta$ y que $y=r\sin\theta$, donde al derivarlas y elevar al cuadrado obtienes:

$$T_m=\frac{1}{2}m(r^2\dot\theta^2+\dot r^2)$$

para $M$

$T_M=\frac{1}{2}M\dot z^2$

en esta parte no creo que tengas inconvenientes, pues z se relaciona con la ecuación de ligadura del siguiente modo $z=r-\ell\Longrightarrow \dot z^2=\dot r^2$.

Luego, la energía potencial gravitatoria vendría dada por $U=Mg(r-l)$


Obteniendo el siguiente lagrangiano para el sistema:

$$L=\frac{1}{2}m(r^2\dot\theta^2+\dot r^2)+\frac{1}{2}M\dot r^2-Mg(r-l)$$

[Al2000]

Re: Lagragiano del sistema

[Beto] ¿puedes resolver el inciso ii)? Me interesa ver como lo haces. Solo plantear las ecuaciones, no resolverlas...

Saludos,

Al

[[Beto]]

Re: Lagragiano del sistema

[Beto] ¿puedes resolver el inciso ii)? Me interesa ver como lo haces. Solo plantear las ecuaciones, no resolverlas...

Saludos,

Al

Sería más o menos así:

Para $\theta$:

$$\frac{\partial L}{\partial \theta}-\frac{\dd }{\dd t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right)=0$$

si no me he equivocado en los cálculos se llega a: $2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta=0$

Para $r$:

$$\frac{\partial L}{\partial r}-\frac{\dd }{\dd t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot r}\right)=0$$

si no me he equivocado en los cálculos se llega a: $mr\dot\theta^2=(m+M)\ddot r+Mg$

Me intriga tu pregunta, ¿he hecho mal algo? ... ¿O hay alguna formas más simple de resolver?

[chandal]

Re: Lagragiano del sistema

Muchas gracias por la ayuda para obtener las coordenadas de las partículas.
Pero tengo una duda: la coordenada z no sería z=l-r y no al revés? y otra cosa, ¿la energía potencial no tendría signo negativo? pues creo ue estamos tomando como origen para los potenciales la superficie de la mesa no¿?.

He hechado todas las cuentas y las ecuaciones son correctas todas, muchas gracias.
Ahora estoy con el tercer apartado, y creo que las contidades conservadas serán el momento angular respectoa al eje z, pues $\theta$ no aparece explícitamente en el lagrangiano, y creo que la energía también se conserva, pero no se como verlo, además creo que debería ser igual al hamiltoniano no¿? esque aún no estoy muy ducho en este tema. Si puedieran echarme una mano con este último apartado, muchas gracias.

[[Beto]]

Re: Lagragiano del sistema

Muchas gracias por la ayuda para obtener las coordenadas de las partículas.
Pero tengo una duda: la coordenada z no sería z=l-r y no al revés? y otra cosa, ¿la energía potencial no tendría signo negativo? pues creo ue estamos tomando como origen para los potenciales la superficie de la mesa no¿?.

He hechado todas las cuentas y las ecuaciones son correctas todas, muchas gracias.
Ahora estoy con el tercer apartado, y creo que las contidades conservadas serán el momento angular respectoa al eje z, pues $\theta$ no aparece explícitamente en el lagrangiano, y creo que la energía también se conserva, pero no se como verlo, además creo que debería ser igual al hamiltoniano no¿? esque aún no estoy muy ducho en este tema. Si puedieran echarme una mano con este último apartado, muchas gracias.

Al escribir $r-\ell$ el signo negativo ya no es necesario pues $r<\ell$

[chandal]

Re: Lagragiano del sistema

y como podría ver que la energia es igual al hamiltoniano y que se conserva¿? es porque el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo ?¿ Gracias

[Entro]

Re: Lagragiano del sistema

Según como te hayan definido el Hamiltoniano...

Supongo que tendrás que hacer una transformación de Legendre y ver que al final lo que te queda es que el H=T+V.

Sobre la conservación de la energía ¿te han explicado el teorema de Noether?

[chandal]

Re: Lagragiano del sistema

El hamiltoniano me lo han definido como $H=p_{\theta}\dot{\theta}-L$ donde L es el lagrangiano.

El teorema de noether no lo hemos visto, pero creo que la cosa es así: como en el lagrangiano no aparece explícitamente el tiempo la energía se conserva y el hamiltoniano también, además como el lagrangiano es cuadrático en las velocidades, aparece $\dot{r}^2$ y $\dot{\theta}^2$ en la velocidad pues además el hamiltoniano es igual a la energía total del sistema. No sé muy bien si es correcto.

Un saludo.

[[Beto]]

Re: Lagragiano del sistema

El hamiltoniano me lo han definido como $H=p_{\theta}\dot{\theta}-L$ donde L es el lagrangiano.

Si hazlo así, esa es la transformación de Legendre que menciona Entro, recuerda que una vez hecha esa transformación tienes que poner todas las velocidades generalizadas en función de los momentos generalizados.

El teorema de noether no lo hemos visto, pero creo que la cosa es así: como en el lagrangiano no aparece explícitamente el tiempo la energía se conserva y el hamiltoniano también, además como el lagrangiano es cuadrático en las velocidades, aparece $\dot{r}^2$ y $\dot{\theta}^2$ en la velocidad pues además el hamiltoniano es igual a la energía total del sistema. No sé muy bien si es correcto.

Un saludo.

Si, eso es lo que se llaman coordenadas cíclicas, es una forma bastante intuitiva de determinar a primera vista las cantidades conservadas asociadas al sistema. Aunque de esto no estoy seguro ... pero me parece que no siempre funciona.

[chandal]

Re: Lagragiano del sistema

Hola. estaba termianndo el ejercicio y tengo una duda con el último apartado,
iv) ¿Bajo qué condiciones la masa m efectúa un movimiento circular?

Creo que tiene que ver algo con la fuerza normal o la fuerza centrípeta no¿?, pero no se muy bien, en particular tendrá que ser algo como que el módulo de la fuerza centrípeta tenga algo que ver con el peso de la mas M, o eso creo, pero no se muy bien.

Gracias.

[[Beto]]

Re: Lagragiano del sistema

Creo que tiene que ver algo con la fuerza normal o la fuerza centrípeta no¿?, pero no se muy bien, en particular tendrá que ser algo como que el módulo de la fuerza centrípeta tenga algo que ver con el peso de la mas M, o eso creo, pero no se muy bien.

Olvídate de las fuerzas, estamos en mecánica lagrangiana

Piensalo de este modo ¿Que cantidades deben de conservarse para que se de el movimiento circunferencial?

[chandal]

Re: Lagragiano del sistema

Creo que debería conservarse el momento angular respecto al eje z, es decir respecto a $\dot{\theta}$ no¿?

[[Beto]]

Re: Lagragiano del sistema

Creo que debería conservarse el momento angular respecto al eje z, es decir respecto a $\dot{\theta}$ no¿?

Además de que $\dot p_\theta=0$, también tiene que cumplirse que $p_r=0$ pues para que sea un movimiento circunferencial el radio tampoco debe de variar.

[chandal]

Re: Lagragiano del sistema

Perdona Beto, pero ¿modficaste el $dot{p_r}$ por el $p_r$? Es correcto para el momento lineal o para su derivada? Creo que sería para el momento lineal no¿?

Un saludo