Secundaria ¿Podras carcular el centro de masa de este cuerpo?

[Jorsh]

Hola, soy Jorsh , entonces vallamos directo al grano, veamos si resuelven este problema:

¿Cual es el centro de masa de esta figura?



Consideren que en todos los lados tiene la misma profundidad y la misma densidad.

Según lo que me contaron, el centro de masa es el punto en el cual cualquier fuerza ejercida la cual su vector intercepte ese punto, el objeto se moverá recto sin girar.
Y según tengo entendido, para que una fuerza no haga girar el objeto, todos los planos posibles que interceptan la linea del vector, deben tener a cada lado la misma cantidad de masa; como aquí todas las áreas tienen la misma profundidad y densidad, solo basta con calcular el área.

Primero intenten si quieren con dos fuerzas, una vertical y otra horizontal, y vean en que punto se interceptan.


¿Ya tienes el centro de masa?, si ya lo tienes, intenta esto ultimo , si funciona con un vector diagonal de superior izquierda a inferior derecha, a ver si pasa por el mismo punto



Esto les enseñara que lo de que todos los cuerpos tienen centro de masa es un mito que solo esta en figuras simétricas.

[dany_nash]

Re: ¿Podras carcular el centro de masa de este cuerpo?

Esto les enseñara que lo de que todos los cuerpos tienen centro de masa es un mito que solo esta en figuras simétricas.

Hola, no entiendo que has querido expresar con aquella frase?. Podrias aclararmelo ??

[lucass]

Re: ¿Podras carcular el centro de masa de este cuerpo?

El problema es bien sencillo, no sé por qué lo querés hacer complicado. Si tenés dificultades para resolver un problema o entender algo entonces pedí ayuda como hacemos todos. Si querés enseñarnos algo hacelo con argumentos matemáticos. De todos modos te diría que no enseñes cosas incorrectas, como esto de que "sólo los cuerpos simétricos tienen centro de masas". (De hecho la figura que nos traés no es simétrica (no tiene ejes ni puntos de simetría) y sin embargo se puede obtener su centro de masa)
Saludos

[Jorsh]

Respuesta

Lo que pasa es que, si se ejerce dos fuerzas, una de arriba para abajo, y otra de la izquierda a la derecha, el único punto en que se interceptarían seria el siguiente:



Las lineas verdes y rojas son los vectores de las fuerzas, el circulo azul indica su punto de intersección.

Si calculan, a cada lado de los vectores hay la misma cantidad de área, y como el cuerpo tiene la misma profundidad y densidad en todos lados, por lo tanto a cada lado hay la misma cantidad de masa, entonces no giraría el cuerpo.

Y según me han contado, el centro de masa es el punto en que cualquier fuerza ejercida que su dirección, pase por ese punto, el objeto no gira, y por ende a cada lado de cualquier posible plano que intercepte el punto, debe tener la misma masa. Si las 2 fuerzas se interceptan en ese punto, entonces según esto, ese debería ser el centro de masa; pero ahora miren esto:



La linea azul, es un tercer vector posible, una fuerza que también intercepta el punto que se supone que es el centro de masa, pero, ¡Sorpresa!, a los lados de este vector, no tienen la misma cantidad de área, por lo no tienen la misma masa, por lo tanto ¡Gira! y pasa por el punto que se supone que es el centro de masa .
Alguno dirían que tal vez haya otro punto donde si se cumplan estas condiciones, pero si la corremos para arriba o para abajo, ya no se cumple el vector verde, y si la corremos para izquierda o derecha, ya no se cumple el vector rojo, y si hubiera que ajustar la profundidad, lo mismo, entonces ¿como?.


Tal vez me explicaron mal lo de los centros de masa , solo por ser menor de edad , por eso puse que solo funciona con figuras simétricas, ya que como esta es asimétrica, y no funciona, pero lógicamente funciona en las simétricas, entonces me gustaría que con algún comentario me explicaran mejor esto , y haber si alguien logra hallar un punto que sea el centro de masa, pónganlo, y coloquen me en una esquina la profundidad que debería estar si este cuerpo tubiera una profundidad de 2 cm , me despido por ahora Jorsh.

[lucass]

Re: Respuesta

Hola Jorsh. Poniendo el cero en el vértice inferior izquierdo de la figura, el centro de masa de este cuerpo tiene: coordenada x = $\frac {25}{14}$ cm (aprox 1.786 cm); coordenada y = $\frac {15}{7}$ cm (aprox 2.143 cm) y si la profundidad (eje z) fuese de 2 cm el centro de masa estaría a 1cm en el eje z.

[pod]

Re: ¿Podras carcular el centro de masa de este cuerpo?

Jorsh, la definición que utilizas de "fuerzas que se intersectan" y todo eso tan raro no es correcta. A lo mejor da una idea intuitiva, pero no es correcta... y de hecho no tiene sentido: Imagina que en vez de un cuerpo plano tenemos uno en tres dimensiones. Entonces, la dirección de aplicación de la fuerza no divide el cuerpo en dos partes. Para dividir un cuerpo tridimensional en dos partes necesitamos un plano, y una fuerza no define ningún plano (o define infinitos, como prefieras). Si esta construir el centro de masas a partir de dividir el cuerpo en dos partes de la misma masa usando la linea de acción de una fuerza no tiene sentido en 3 (o más) dimensiones, ¿por qué iba a funcionar en dos?

La definición correcta y estricta de centro de masas que siempre funciona es

$$\vec r_\text{cm} = \frac1M \iint \!\! \dd S\ \vec r \rho(\vec r) .$$

En este caso, usando la linealidad de la integral, es muy sencillo hacerlo simplemente separando el cuerpo en dos rectángulos. Por ejemplo, lo partimos horizontalmente, de forma que tenemos un cuadrado de 3 x 2cm y otro de 4 x 2cm. Si tomamos la esquina inferior izquierda como centro de coordenadas, es obvio que los centros de masa de ambos rectángulos están en (1.5, 1) y (2, 3), todo en cm. Luego, basta hacer la media ponderada tomando la masa (que es proporcional al área) como peso:

$$\vec r_\text{cm} = \dfrac{ 2\times 3 \times (1.5, 1) + 4 \times 2 \times (2, 3) }{ 2\times 3 + 4 \times 2 } = \frac{ (9, 6) + (16, 24)}{6 + 8} = \left( \frac{25}{14},\ \frac{30}{14} \right) \text{cm}.$$

Cualquier cuerpo, regular, irregular, continuo o discreto tiene centro de masas.

[Al2000]

Re: Respuesta

...
Si las 2 fuerzas se interceptan en ese punto, entonces según esto, ese debería ser el centro de masa; pero ahora miren esto:



La linea azul, es un tercer vector posible, una fuerza que también intercepta el punto que se supone que es el centro de masa, pero, ¡Sorpresa!, a los lados de este vector, no tienen la misma cantidad de área, por lo no tienen la misma masa, por lo tanto ¡Gira! y pasa por el punto que se supone que es el centro de masa .
...

Aparte de lo que ya te han dicho los otros participantes me gustaría compartir contigo un par de cálculos, que te invito a verificar. Todas las distancias las voy a expresar en centímetros y las áreas en centímetros al cuadrado. Los cálculos los hice con toda la precisión del computador pero solo voy a copiar 4 decimales.

La línea azul que dibujaste que pasa por el centro de masas (una vez corregida su ubicación) divide el área mostrada en dos trozos desiguales, como ya lo notaste. El área inferior es de 7.3200 mientras que el área superior es de 6.6800, que hacen los 14 de la figura completa.

El centro de masa del pedazo inferior se encuentra en el punto de coordenadas (1.1803,1.3862) y el centro de masa del pedazo superior en coordenadas (2.4491,2.9720). La distancia del centro de masa del pedazo inferior a la línea azul es de 0.9608 y la distancia para el pedazo superior es 1.0529.

Y aquí viene lo interesante. El momento del área inferior respecto a la esquina superior izquierda de la figura es igual (signo contrario) al momento del área superior: $7.3200 \times 0.9608 - 6.6800 \times 1.0529 \approx 0$.

Por eso mi amigo, si aplicas la fuerza que indicas, por ejemplo colgando el cuerpo por la esquina superior izquierda, el cuerpo no girará.

La enseñanza debe ser que una línea trazada por el centro de masa de un área plana no la divide en pedazos de igual área, sino en pedazos con el mismo momento respecto de un punto que forme parte de la línea.

Saludos,

Al

PD. Tampoco había que enrollarse tanto usando la línea azul... ni la línea verde ni la roja dividen al cuerpo en dos partes iguales, pero te apuesto lo que quieras a que el producto del área de cada pedazo por la distancia a la línea es el mismo.

PD2. Y como planteaste el "problema" como una pregunta, yo te devuelvo el capote y te pregunto ¿podrás determinar una línea que pase por el centro de masa y que divida el cuerpo en dos partes iguales?