Otras carreras sistemas con masa variable

[roldan]

hola a todos!
quisiera preguntarles como resolver este problema:
un vagon lleno de arena tiene una velocidad v en un tiempo t=0, el vagon tiene un agujero por el que esta cayendo la arena a razon R=dm/dt, la masa total del sistema es M y la fuerza que actua sobre el vago es F. ¿cual es la acelaracion y velocidad del vagon?

[GNzcuber]

Re: sistemas con masa variable

No sé muy bien cómo hacerlo pero a ver si te sirve de algo:

Sobre el vagón actúa una fuerza constante $\mathbf{F}$, y su masa es $\dst M=M_0-R\cdot t$. Por la segunda ley de Newton:

$$\displaystyle \mathbf{F}=M\cdot \mathbf{a} = \left(M_0-t\frac{{d}m}{{d}t}\right)\frac{{d}\mathbf{v}}{{d}t}$$

Aquí me quedo :P.

[Editado]= Mira, creo que R es constante, es decir que la variación de masa es siempre la misma, por lo tanto el problema se simplifica. La aceleración es

$$\displaystyle \mathbf{a}=\dfrac{\mathbf{F}}{M_0-R\cdot t}\quad \text{para } t < \frac{M_0}{R}$$

Y para la velocidad

$$\displaystyle \int_0^v {d}\mathbf{v}=\int_0^t \frac{\mathbf{F}}{M_0-R\cdot t}{d}t\Rightarrow \mathbf{v}=-\frac{\mathbf{F}}{R}\ln\left(\frac{M_0-R\cdot t}{M_0}\right)$$

¡Saludos!

[javier m]

Re: sistemas con masa variable

¿no sera así:

$$\vec{F}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{p} }{\mathrm{d} t } =\dfrac{\mathrm{d}m\vec{v} }{\mathrm{d} t } =m\vec{a}+ \dfrac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t } \vec{v}$$

?

[pod]

Re: sistemas con masa variable

¿no sera así:

$$\vec{F}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{p} }{\mathrm{d} t } =\dfrac{\mathrm{d}m\vec{v} }{\mathrm{d} t } =m\vec{a}+ \dfrac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t } \vec{v}$$

?

Sí, correcto. Para sistemas con masa variable, $F \neq m a$.

[skynet]

Re: sistemas con masa variable

¿no sera así:

$$\vec{F}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{p} }{\mathrm{d} t } =\dfrac{\mathrm{d}m\vec{v} }{\mathrm{d} t } =m\vec{a}+ \dfrac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t } \vec{v}$$

?

No, aquí no aplica esa ecuación

supon que la fuerza fuera igual a cero....aplicando esa ecuacion el vagón se aceleraría solo por tener un agujero....

Para aplicar esa ecuacion deberías de lanzar la arena, en lugar de djarla caer, de modo que su velocidad al avandonar el vagón fuera cero cediendo al vagón toda su cantidad de movimiento...

la solucion de GNzcuber es la correcta

[pod]

Re: sistemas con masa variable

No, aquí no aplica esa ecuación

supon que la fuerza fuera igual a cero....aplicando esa ecuacion el vagón se aceleraría solo por tener un agujero....

Para aplicar esa ecuacion deberías de lanzar la arena, en lugar de djarla caer, de modo que su velocidad al avandonar el vagón fuera cero cediendo al vagón toda su cantidad de movimiento...

la solucion de GNzcuber es la correcta

De hecho, ambos están más o menos en lo cierto, pero con matices.

$\vec F$ aquí es la fuerza total, vectorial. Estrictamente hablando, no es un problema únicamente unidimensional, ya que de ser así la arena no podría salir del carro.

En un problema donde se va separando un cuerpo en varios, como es el caso, hay que tener en cuenta que el cambio en el momento total es igual a la suma de fuerzas externas. Ahora bien, en este problema la fuerza externa es el peso, y la arena que se separa del cuerpo se acelera hacia abajo, que es la dirección perpendicular al movimiento del carro. Como el carro sólo se puede en la dirección horizontal, nos podemos olvidar de todos los movimientos verticales y entonces nos saldría la ecuación de gnzcuber. Pero obtenida de la forma que la obtuvo él, el procedimiento es conceptualmente erróneo, y por ejemplo no funcionaría si tuviéramos un plano inclinado.

La forma correcta es empezar por calcular el cambio en el momento que se da en un instante dado,

$$\dd \vec p = \Big[ (m - \dd m) (\vec v + \dd \vec v) + \dd m (\vec v - \vec u) \Big] - m \vec v$$

el cambio (diferencial) en el momento se calcula obviamente restando el "antes" al "después" (la parte dentor del corchete). $\vec u$ es la velocidad relativa del trozo de arena que cae, en este caso de masa $\dd m$, que equivale a la masa que ha perdido el carro.

Como siempre en estos casos, se trata de desarrollar y desechar los términos de segundo orden en diferenciales,

$$\dd \vec p <br /> = m\vec v + m \dd \vec v- \vec v\dd m + \vec v \dd m - \vec u \dd m - m \vec v <br /> = m \dd \vec v - \vec u \dd m <br /> \ .$$

Obviamente, $\dd \vec p$ es igual a la fuerza total sobre el sistema, multiplicada por $\dd t$. Hay cuatro contribuciones:

1. La fuerza que dice el enunciado, $F \hat\imath$,
2. El peso del carrito, $(m-\dd m) g (-\hat\jmath)$,
3. La normal del suelo sobre el carrito (que impide que atraviese el suelo),
4. El peso de la arena que acaba de salir, $\dd m g (-\hat\jmath)$.

Obviamente, 2 y 3 se cancelan mutuamente, así que nos podemos olvidar de ellas. Por lo tanto,

$$\Big(F \hat\imath - \dd m g \hat\jmath\Big) \dd t<br /> = m \dd \vec v - \vec u \dd m <br /> \ .$$

Ahora, sólo nos interesa la componente horizontal de esta ecuación. Simplemente, multiplicamos el vector unitario (que es lo que yo he llamado $\hat\imath$) en esa dirección escalarmente. Lo importante es que en este caso $\hat\imath \cdot \vec u = 0$, por lo tanto

$$F = m \frac{\dd \vec v}{\dd t}\ ,$$

y ahora tenemos derecho a partir de esta ecuación. Sin justificarla, para mi hubiera sido un 0 si me tocara corregir el examen (y he corregido exámenes de carrera ). En cambio, javier se hubiera llevado un tres (sobre diez).

[Jose D. Escobedo]

Re: sistemas con masa variable

$$F = m \frac{\dd \vec v}{\dd t}\ ,$$

y ahora tenemos derecho a partir de esta ecuación. Sin justificarla, para mi hubiera sido un 0 si me tocara corregir el examen (y he corregido exámenes de carrera ). En cambio, javier se hubiera llevado un tres (sobre diez).

En este caso, yo hubiera obtenido como 4 o 4.5 porque yo no visualcé que en el problema se requeria la segunda dimensión, aunque sabia que había algo extraño con solo aplicar esta formla, pero eso sí, yo lo hubiera intentado resolver.

Saludos
Jose

[GNzcuber]

Re: sistemas con masa variable

Un cero bien merecido. Este post me lo tendré que releer hasta comprenderlo por completo, quizá por hoy esté bastante cansado como para entenderlo de manera que forme parte de la intuición.

¡Gracias Pod!

¡Saludos!

[skynet]

Re: sistemas con masa variable

Tengo una objeción Pod:

$\sum \vec{F} =m{\frac{\mathrm{d}\vec{v} }{\mathrm{d}t } }-\vec{u}\frac{dm}{ dt}$

y

$\sum \vec{F}=m{\frac{\mathrm{d}\vec{v} }{\mathrm{d}t } }+\vec{v} \frac{dm}{ dt}$

entonces:

$-\vec{u}\frac{dm}{ dt}=\vec{v} \frac{dm}{ dt}\Rightarrow-\vec{u}=\vec{v}$

pero $\vec{u}$ tiene direccion vertical (velocidad de caida ) y $\vec{v}$ tiene direccion horizontal.

además en el momento en el que el dm sale del vagón $u=0\Rightarrow v=0$

....a menos que lances la arena hacia atrás como yo decía en un mensaje anterior.....

¿que opinas Pod?

saludos

[pod]

Re: sistemas con masa variable

Tengo una objeción Pod:

$\sum \vec{F} =m{\frac{\mathrm{d}\vec{v} }{\mathrm{d}t } }-\vec{u}\frac{dm}{ dt}$

y

$\sum \vec{F}=m{\frac{\mathrm{d}\vec{v} }{\mathrm{d}t } }+\vec{v} \frac{dm}{ dt}$

entonces:

$-\vec{u}\frac{dm}{ dt}=\vec{v} \frac{dm}{ dt}\Rightarrow-\vec{u}=\vec{v}$

pero $\vec{u}$ tiene direccion vertical (velocidad de caida ) y $\vec{v}$ tiene direccion horizontal.

además en el momento en el que el dm sale del vagón $u=0\Rightarrow v=0$

....a menos que lances la arena hacia atrás como yo decía en un mensaje anterior.....

¿que opinas Pod?

saludos

¿De dónde sacas tus dos primeras ecuaciones?

[skynet]

Re: sistemas con masa variable

la primera la escribiste tú:

$$\Big(F \hat\imath - \dd m g \hat\jmath\Big) \dd t<br /> = m \dd \vec v - \vec u \dd m <br /> \ .$$

[skynet]

Re: sistemas con masa variable

la segunda la escribió javier...con tu aprobación:

¿no sera así:

$$\vec{F}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{p} }{\mathrm{d} t } =\dfrac{\mathrm{d}m\vec{v} }{\mathrm{d} t } =m\vec{a}+ \dfrac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t } \vec{v}$$

?

Sí, correcto. Para sistemas con masa variable, $F \neq m a$.

[pod]

Re: sistemas con masa variable

la segunda la escribió javier...con tu aprobación:

Como dije después:

De hecho, ambos están más o menos en lo cierto, pero con matices.

El procedimiento correcto, sin matices ni ambigüedades, está en el post #6.

[skynet]

Re: sistemas con masa variable

sí, Pod, estoy de acuerdo con el post #6,

pero....la ecuacion:

$\sum \vec{F}=\frac{d\vec{p} }{dt } =m{\frac{\mathrm{d}\vec{v} }{\mathrm{d}t } }+\vec{v} \frac{dm}{ dt}$

debería de cumplirse siempre....¿por qué aquí no?....no lo entiendo....¿puedes ayudarme?

[pod]

Re: sistemas con masa variable

sí, Pod, estoy de acuerdo con el post #6,

pero....la ecuacion:

$\sum \vec{F}=\frac{d\vec{p} }{dt } =m{\frac{\mathrm{d}\vec{v} }{\mathrm{d}t } }+\vec{v} \frac{dm}{ dt}$

debería de cumplirse siempre....¿por qué aquí no?....no lo entiendo....¿puedes ayudarme?

Porque esto no es exactamente un sistema de masa variable, sino un sistema de diversas masas que se van separando. Por lo tanto $\dd m / \dd t = 0$ (para el sistema total; no vale con centrarse sólo en el cuerpo que va perdiendo masa, también importa la velocidad a la que salga esa masa). Luego, como hay que considerar el sistema total, hay que considerar todas las aportaciones al momento, no sólo el vagón/carro.

A la práctica, este sistema debe estudiarse como una explosión (que es el inverso temporal a una colisión totalmente inelástica).