2o ciclo Particula en un potencial parabolico

[[Beto]]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Considerar una partícula puntual en presencia de un potencial parabólico:

$$H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+V(q),~~~~~~V(q)=-\frac{m}{2}\lambda^2q^2$$

a) Escribir las ecuaciones de Hamilton para este sistema y resolverlas para las condiciones iniciales generales:

$$p(t')=p',~~q(t')=q'$$

Para esta primera parte lo que hago es una transformación canónica de la siguiente manera:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> p&=\sqrt{2m\lambda P}\cosh Q\\<br /> q&=\frac{\sqrt{2m\lambda P}}{m\lambda}\sinh Q<br /> \end{aligned}<br />$$

de donde resulta que el nuevo Hamiltoniano es $H=\lambda P$ siendo $Q$ una coordenada cíclica. Luego de solucionar las ecuaciones de movimiento para este nuevo Hamiltoniano se obtiene:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> P&=\dfrac{E}{\lambda}\\<br /> Q&=\lambda^2t+\alpha<br /> \end{aligned}<br />$$

Finalmente reemplazando en la transformación canńica realizada se obtiene que:

$$q=\sqrt{\frac{2E}{m\lambda}}\sinh(\lambda t+\alpha)$$

con $E=\dfrac{p'^2}{2m}-\dfrac{m}{2}\lambda^2q'^2$ y $\alpha=\text{arcsinh}\left(q'\sqrt{\frac{m\lambda}{2E}}\right)-\lambda t'$

b) Calcular la matriz de estabilidad para estas trayectorias,

$$M=\begin{pmatrix}<br /> \dfrac{\partial p''}{\partial p'}&\dfrac{\partial p''}{\partial q'}\\<br /> \dfrac{\partial q''}{\partial p'}&\dfrac{\partial q''}{\partial q'}<br /> \end{pmatrix}$$

y verificar si es simpléctica.

Esta parte no la entiendo, porque no se que son las componentes de la matriz en cuestión, así que necesitaría que me indiquen como proceder para calcular cada uno de sus elementos, y también como comprobar que es simpléctica (no se que significa eso).

c) Encontrar los valores y vectores propios para esta matriz, y decir cuales corresponden a estables y cuales a inestables variedades. calcular los exponentes de Lyapunov para el sistema.

En esta parte no creo que tenga problemas una vez calculado el punto b. Supongo que encontraré dos valores propios y dos vectores propios, donde uno corresponderá a soluciones estables y el otro a soluciones inestables, aunque por la forma del potencial me parece que no podrían haber soluciones estables ... ¿es correcto lo que estoy pensando?.

d) Resolver las ecuaciones de movimiento para el caso particular en donde los puntos iniciales estén localizados en una de estas dos variedades.

... esta parte si no la entiendo

Gracias de antemano.

[[Beto]]

Re: Particula en un potencial parabolico

Hola denuevo, plantearé lo que he avanzado:

La parte b, la he hecho partiendo de que las ecuaciones de hamilton en las coordenadas iniciales son:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \dot q&=\dfrac{p}{m}\\<br /> \dot p&=m\lambda^2q<br /> \end{aligned}<br />$$

ahí se puede apreciar que el punto $(q_o,p_o)=(0,0)$ es un punto crítico para el sistema, donde el tipo de punto crítico vendrá determinado por el tipo de valores propios de la siguiente matriz:

$$<br /> A=\begin{pmatrix}<br /> 0&\frac{1}{m}\\<br /> m\lambda^2&0<br /> \end{pmatrix}<br />$$

la duda que tengo es ... ¿es esta la matriz de estabilidad de trayectorias? de ser asi ¿cómo determino si es simpléctica?

La parte c, consistiría en determinar los valores ($\alpha_1$ y $\alpha_2$) propios de esa matriz, los cuales al calcularlos resultan ser $\alpha_1=-\lambda~\text{y}~\alpha_2=\lambda$, donde sus respectivos vectores propios para cada uno de ellos son $\begin{pmatrix}1\\-\lambda m\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}1\\\lambda m\end{pmatrix}$ respectivamente.

Luego como los valores propios son reales y diferentes y $\alpha_1<0<\alpha_2$ el punto en cuestión es un punto de silla inestable.

Acá ¿Cómo encuentro los exponentes de Lyapunov?

Para la parte d aun no se me ocurre nada

[Jose D. Escobedo]

Re: Particula en un potencial parabolico

Hola denuevo, plantearé lo que he avanzado:

La parte b, la he hecho partiendo de que las ecuaciones de hamilton en las coordenadas iniciales son:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \dot q&=\dfrac{p}{m}\\<br /> \dot p&=m\lambda^2q<br /> \end{aligned}<br />$$

ahí se puede apreciar que el punto $(q_o,p_o)=(0,0)$ es un punto crítico para el sistema, donde el tipo de punto crítico vendrá determinado por el tipo de valores propios de la siguiente matriz:

$$<br /> A=\begin{pmatrix}<br /> 0&\frac{1}{m}\\<br /> m\lambda^2&0<br /> \end{pmatrix}<br />$$

la duda que tengo es ... ¿es esta la matriz de estabilidad de trayectorias? de ser asi ¿cómo determino si es simpléctica?

La parte c, consistiría en determinar los valores ($\alpha_1$ y $\alpha_2$) propios de esa matriz, los cuales al calcularlos resultan ser $\alpha_1=-\lambda~\text{y}~\alpha_2=\lambda$, donde sus respectivos vectores propios para cada uno de ellos son $\begin{pmatrix}1\\-\lambda m\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}1\\\lambda m\end{pmatrix}$ respectivamente.

Luego como los valores propios son reales y diferentes y $\alpha_1<0<\alpha_2$ el punto en cuestión es un punto de silla inestable.

Acá ¿Cómo encuentro los exponentes de Lyapunov?

Para la parte d aun no se me ocurre nada

Beto, ya calculaste los exponentes de Lyapunov: $e^{\lambda t}$ y $e^{-\lambda t}$.

Si dibujas el "phase space" p vs q, te daras cuenta de que tienes una familia de hiperbolas:$\dst \frac{p^2}{2m } - \frac{m}{2 } \lambda^2 q^2=E$, si el problema es considerado "autonomous system" ó "time invariant system"
También creo que ya calculaste las asintotas $p=\mp m\lambda q$. También ya sabes que cuando q=0 y p=0 tienes un punto crítico, pero inestable. Si quieres mas información, en youtube hay lecturas con el nombre de "classical physics" del Dr V. Balakrishnan en particular la número "3" es la que toca este tema. (El único detalle es que esta en inglés, pero espero que alguién te ayude ha entenderlo )
En cuanto a la matriz que has preguntado, aquí esta la wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Symplectic_matrix

Saludos
Jose

[[Beto]]

Re: Particula en un potencial parabolico

Gracias, unas pregunta más

Entonces la matriz $A$ que encontré ¿si es la matriz de estabilidad? ... de ser así la relación que me dan con las derivadas $p', p'', q', q''$ ¿para qué sirve? y ¿qué es cada uno de esos términos?

El apartado d ¿a qué se refiere?

[Jose D. Escobedo]

Re: Particula en un potencial parabolico

Hola, Beto

$\dot p (p,q)$ y $\dot q (p,q)$ estan usualmente en función de p y q.

Si quieres analizar la estabilidad de esas dos funciones, se les hace variar, para ver su comportamiento. Es decir:
$\delta \dot p = \dst \frac{d \dot p}{dp } \delta p + \dst \frac{d \dot p}{ d q} \delta q$
y
$\delta \dot q =\dst \frac{d \dot q}{dp } \delta p+\dst \frac{d \dot q}{d q }\delta q$
$\Rightarrow$

$\begin{pmatrix}<br /> \delta \dot p \\<br /> \delta \dot q \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}<br /> \dst \frac{\partial \dot p}{\partial p} & \dst \frac{\partial \dot p}{\partial q} \\<br /> \dst \frac{\partial \dot q}{\partial p} & \dst \frac{\partial \dot q}{\partial q } \end{pmatrix} \begin{pmatrix}<br /> \delta p \\ \delta q<br /> \end{pmatrix}$

Esto se efectua en un punto en particular, para ver su comportamiento local, creo que el problema radica en la notación. Yo usualmente hago $\dot x$ para derivadas en función del tiempo. Ademas la notación $p'$, por lo que leí en parte del texto que escribiste se deve a la posición y no a la derivada.

Por otro lado, te recomiendo que veas el video que te mencioné (aunque no entiendas el inglés, la parte matemática y descriptiva si la vas a entender), para que veas las trayectorias que te piden.

Saludos
Jose.

[[Beto]]

Re: Particula en un potencial parabolico

$\begin{pmatrix}<br /> \delta \dot p \\<br /> \delta \dot q \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}<br /> \dst \frac{\partial \dot p}{\partial p} & \dst \frac{\partial \dot p}{\partial q} \\<br /> \dst \frac{\partial \dot q}{\partial p} & \dst \frac{\partial \dot q}{\partial q } \end{pmatrix} \begin{pmatrix}<br /> \delta p \\ \delta q<br /> \end{pmatrix}$

Hola, en ese caso ¿tengo mal la matriz que yo plantee? y tendría que ser:

$$<br /> A=\begin{pmatrix}<br /> 0&m\lambda^2\\<br /> \frac{1}{m}&0<br /> \end{pmatrix}<br />$$

¿es correcto eso?

Lo que se me hace extraño es que al realizar el producto $A^TJA$, se obtiene:

$$<br /> J=\begin{pmatrix}<br /> 0&\lambda\\<br /> -\lambda&0<br /> \end{pmatrix}<br />$$

y debería de obtenerse

$$<br /> J=\begin{pmatrix}<br /> 0&1\\<br /> -1&0<br /> \end{pmatrix}<br />$$

[Jose D. Escobedo]

Re: Particula en un potencial parabolico

Veamos, yo lo hubiera hecho así:
$|A-I\alpha|=0 \Rightarrow$

$\left | \begin{matrix}<br /> -\alpha & m\lambda^2 \\<br /> \dst \frac{1}{m } & -\alpha <br /> \end{matrix}\right|=0 \Rightarrow$
$\alpha^2 - \lambda^2=0 \Rightarrow \alpha =\pm \lambda$ que son los "eigenvalues"
De aquí los eigenvectors son:$\begin{pmatrix}<br /> m \lambda \\<br /> 1\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}<br /> -m\lambda \\ 1<br /> \end{pmatrix}$de donde:
$M=\begin{pmatrix}<br /> m\lambda & -m\lambda \\<br /> 1 & 1\end{pmatrix}$ y $M^{-1}=\begin{pmatrix}<br /> \frac{1}{ 2m\lambda } & \frac{1}{2 } \\<br /> \frac{-1}{2m \lambda } & \frac{1}{ 2} \end{pmatrix}$
$\Rightarrow M^{-1} A M=\begin{pmatrix}<br /> \lambda & 0 \\<br /> 0 & -\lambda <br /> \end{pmatrix}$

No creo que los eigenvalues tengan que ser 1 y -1 porque los eigenvalues representan, ademas de un sentido atractivo o repulsivo en los manifolds, cuanto se estiran ó contraen los eigenvectors.
Saludos
Topolino

[[Beto]]

Re: Particula en un potencial parabolico

$M=\begin{pmatrix}<br /> m\lambda & -m\lambda \\<br /> 1 & 1\end{pmatrix}$ y $M^{-1}=\begin{pmatrix}<br /> \frac{1}{ 2m\lambda } & \frac{1}{2 } \\<br /> \frac{-1}{2m \lambda } & \frac{1}{ 2} \end{pmatrix}$
$\Rightarrow M^{-1} A M=\begin{pmatrix}<br /> \lambda & 0 \\<br /> 0 & -\lambda <br /> \end{pmatrix}$

Hola, no entiendo lo que haz hecho acá, el producto de matrices que yo realicé fue el siguiente:

$$<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0&m\lambda^2\\<br /> \frac{1}{m}&0<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0&1\\<br /> -1&0<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0&\frac{1}{m}\\<br /> m\lambda^2&0<br /> \end{pmatrix}<br />$$

el cual según leí en el enlace de wikipedia que mencionaste, que para que la matriz sea simpléctica, debe dar como resultado a la matriz del centro, pero al efectuarlo no se obtiene ese resultado ... o ¿estoy entiendo mal?

[Jose D. Escobedo]

Re: Particula en un potencial parabolico

Hola, Beto,Creo que te estoy confundiendo devido a que son demaciadas preguntas. Tu preguntas algo y yo contesto otra cosa. Vamonos organizando. En el post # 4 me preguntaste que si la matriz: $\begin{pmatrix}<br /> 0 & m \lambda^2 \\<br /> \frac{1}{m } & 0<br /> \end{pmatrix}$ era la matriz de estabilidad, a lo cual respondo que "si", despues escribiste con dudas diciendo que si habías planteado la matrz de este modo:$\begin{pmatrix}<br /> 0 & \frac{1}{ m} \\<br /> m \lambda^2 & 0<br /> \end{pmatrix}$ (que tampoco me parece mal por la simetría de la misma) a lo que te conteste como lo hubiera hecho, con la diagonalizacion y todo lo demas.
Despues veo que la duda es checar si la matriz es simpletica, a lo cual yo pense, que ya lo habías solucionado con la info de la wikipedia.
Veo que ya lo intetaste y te resultó que no es simpletica.
Otra forma de revisarlo es utilizando sus propiedades que se encuentran en la misma wikipedia, yo consulté la web de "planetmath.org,( tu sabes "researching" para estar seguro). Otra propiedad es que su determinante sea 1, lo cual no lo es ni en la que tu calculaste, ni en la que yo calcule. El resultado que nos da es: $-\lambda^2$, para que este sea uno $\lambda^2=-1$
Si $\lambda^2=-1 \Rightarrow$
$\begin{pmatrix}<br /> 0& -m \\<br /> \frac{1}{ m} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 \\<br /> -1 &0<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> 0 & \frac{1}{ m} \\<br /> -m & 0<br /> \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 \\<br /> -1 & 0<br /> \end{pmatrix}$
o sea que $M^T \Omega M=\Omega$ solo cuando $\lambda^2 =-1$ lo cual nos dice que esa matriz no es simpletica para este caso. Es simpletica unicamente cuando $\lambda^2 =-1$
Saludos
Jose

[[Beto]]

Re: Particula en un potencial parabolico

Gracias, ahora me ha quedado más claro, solamente me quedan dos dudas:

• ¿Qué tengo que hacer para resolver el item d?
• y esta es más por curiosidad ¿Qué es lo que me están representando los valores y vectores propios de la matriz de estabilidad? y ¿qué representan los exponentes de Lyapunov? ... he leído la teoría pero no me queda del todo claro.