2o ciclo Identidad de Jacobi

[Brunow]

Estoy tratando de demostrar la identidad de Jacobi usando los corchetes de Poisson, lei en un post anterior que se usaban propiedades de los corchetes pero en ningun libro lo vi resuelto con propiedades solamente sino que usan notaciones particulares para el problema (consulte el goldstein y tenia notacion tipo matricial y el Landau hacia una sustitucion similar a una derivada) pero no me quedo claro para nada en los libros y en los hilos anteriores habia enlaces donde se resolvia este problema pero al darle click los enlaces estaban caidos. busque en google y tampoco halle respuesta desde una perspectiva fisica, si habia desde el punto de vista puramente matematico (creo que algo de vectores y producto triple pero ni idea, no me meti mucho en eso). Espero su ayuda que siempre me a servido, un abrazo grande!!

[Mister Kroket]

Re: Identidad de Jacobi

me encantan los ejercicios que propones Brunow son un reto para mí , a ver si puedo arrojar algo de luz al tema;


mira la página 44 de este enlace a ver si te vale http://es.scribd.com/doc/52414910/19...tes-de-Poisson

y ahora lo que intenté hacer, perdonadme si desvirtuo el hilo ;

con esta definición $[A,B]=AB-BA$ aplicandola dos veces y después de algo que vi en un mensaje de pod que supongo que es la definición de corchete de Poisson , $\dst [A,B]= \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i} \frac{\partial A}{\partial p_i}$ y me sale que cada uno de los tres términos de la identidad de Jacobi es cero, por lo que se cumple pero seguro que está mal ya que es demasiado sencillo

[Brunow]

Re: Identidad de Jacobi

parece que diste en el clavo Mister Kroket!! mañana mas tranquilo lo leo pero me parece que es lo que buscaba. no entendi lo que hiciste con lo de los corchetes de Poisson: $\dst [A,B]= \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i} \frac{\partial A}{\partial p_i}$ y la definicion de conmutador de algebra lineal: $[A,B]=AB-BA$. En principio son cosas diferentes pero a las apuradas lo que escribiste me dio a entender que igualabas ambos o algo asi y operabas. bueno de todas formas gracias y si me sirve hago del gracias algo mas explicito dandole al botoncito "gracias!" jajaja

[Mister Kroket]

Re: Identidad de Jacobi

me explico un poco mejor se supone que hay que demostrar

$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$ con los corchetes de Poisson,

como cada término es;

$[X,[Y,Z]] = X[Y,Z]-[Y,Z]X=$
Como no estoy seguro de que $X[Y,Z]=[Y,Z]X$ entonces utilizo la defi. de corchete de Poisson

$\dst X ( \frac{\partial Y}{\partial q_i} \frac{\partial Z}{\partial p_i}-\frac{\partial Z}{\partial q_i} \frac{\partial Y}{\partial p_i} - ( \frac{\partial Y}{\partial q_i} \frac{\partial Z}{\partial p_i}-\frac{\partial Z}{\partial q_i} \frac{\partial Y}{\partial p_i} ) X =0$

y por lo mismo $[Y,[Z,X]]=0=[Z,[X,Y]]$

[Brunow]

Re: Identidad de Jacobi

creo que tu razonamiento no es del todo correcto porque la identidad de jacobi en mecanica no usa la definicion algebraica de conmutador sino la definicion de corchetes de poisson que a simple vista no cumplen la propiedad $[X,[Y,Z]] = X[Y,Z]-[Y,Z]X$.

[Brunow]

Re: Identidad de Jacobi

Del enlace que mandaste antes no entendi lo siguiente:



Al parecer no tengo la facilidad del autor para ver que se anula, si alguien me explica como se anula se lo agradeceria

[pod]

Re: Identidad de Jacobi

La propiedad del conmutador de un producto que utilizas no es cierta para los Corchetes de Poisson.

Se trata de substituir la definición de corchete de Poisson y operar con paciencia. Hagamos uno de los términos. Agarraos porque es un churro

$$\begin{aligned}<br /> \big[ x^1, \ [x^2,\ x^3] \big] & = \left[ x^1 ,\ \frac{\partial x^2}{\partial q}\frac{\partial x^3}{\partial p} - \frac{\partial x^3}{\partial q}\frac{\partial x^2}{\partial p} \right] \\<br /> & = \frac{\partial x^1}{\partial q} \frac{\partial}{\partial p}\left( \frac{\partial x^2}{\partial q}\frac{\partial x^3}{\partial p} - \frac{\partial x^3}{\partial q}\frac{\partial x^2}{\partial p} \right) <br /> - \frac{\partial x^1}{\partial p} \frac{\partial}{\partial q}\left( \frac{\partial x^2}{\partial q}\frac{\partial x^3}{\partial p} - \frac{\partial x^3}{\partial q}\frac{\partial x^2}{\partial p} \right) <br /> \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}<br /> & = \frac{\partial x^1}{\partial q}\left(<br /> % <br /> \frac{\partial^2 x^2}{\partial p\partial q}\frac{\partial x^3}{\partial p}<br /> + <br /> \frac{\partial x^2}{\partial q}\frac{\partial^2 x^3}{\partial p^2} <br /> - <br /> \frac{\partial^2 x^3}{\partial p\partial q}\frac{\partial x^2}{\partial p}<br /> -<br /> \frac{\partial x^3}{\partial q}\frac{\partial^2 x^2}{\partial p^2}<br /> \right) <br /> \\&\qquad<br /> - \frac{\partial x^1}{\partial p}\left( <br /> %<br /> \frac{\partial^2 x^2}{\partial q^2}\frac{\partial x^3}{\partial p} <br /> +<br /> \frac{\partial x^2}{\partial q}\frac{\partial^2 x^3}{\partial q\partial p} <br /> - <br /> \frac{\partial^2 x^3}{\partial q^2}\frac{\partial x^2}{\partial p}<br /> -<br /> \frac{\partial x^3}{\partial q}\frac{\partial^2 x^2}{\partial q\partial p}<br /> %<br /> \right) <br /> \end{aligned}<br />$$

Ahora se trataría de desarrollar todo esto, sumar las otras tres contribuciones y ver que da cero. Por supuesto, habrá atajos, usar propiedades de simetría ante permutaciones cíclicas y tal.


La ventaja de la notación simplética que has encontrado en algunos libros es que utilizar las propiedades de las matrices simplifica bastante el cálculo. Pero bueno, si lo quieres hacer así, también podrás.

Eso sí, no os fiéis del todo de lo que escribí porque es fácil confundirse con tanto código latex. Pero supongo que se entiende la idea. Se trata de derivar dos veces aplicando la regla de la cadena.